a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: \({x^2}\left( {y + 3} \right) = y{\left( {{x^2} - 3}

Câu hỏi số 272685:

Vận dụng

a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: \({x^2}\left( {y + 3} \right) = y{\left( {{x^2} - 3} \right)^2}\).

b) Giải phương trình: \({x^2} - 2\sqrt {2x - 1} = \frac{{13{x^2} - 28x + 24}}{{2x + 1}}\).

A. \(\begin{array}{l}
a)\,\,\left[ \begin{array}{l}
x = \pm 3\\
x = \pm 1
\end{array} \right.\\
b)\,\,\left[ \begin{array}{l}
x = 5\\
x = 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}
a)\,\,x = 3\\
b)\,\,x = 5
\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}
a)\,\,\left[ \begin{array}{l}
x = 3\\
x = 1
\end{array} \right.\\
b)\,\,\left[ \begin{array}{l}
x = 5\\
x = 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}
a)\,\,\left[ \begin{array}{l}
x = 3\\
x = 1
\end{array} \right.\\
b)\,\,x = 5
\end{array}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272685

Giải chi tiết

a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: \({x^2}\left( {y + 3} \right) = y{\left( {{x^2} - 3} \right)^2}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^2}\left( {y + 3} \right) = y{\left( {{x^2} - 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{y + 3}}{y} = {\left( {\dfrac{{{x^2} - 3}}{x}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 1 + \dfrac{3}{y} = {x^2} + \dfrac{9}{{{x^2}}} - 6.\end{array}\)

Nếu \(x = 1 \Rightarrow 1 + \dfrac{3}{y} = 4 \Leftrightarrow y = 1\)

Nếu \(x = 2 \Rightarrow 1 + \dfrac{3}{y} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow y = - 4\,\,\left( {ktm} \right)\).

Nếu \(x \ge 3 \Rightarrow \dfrac{3}{y} = {x^2} + \dfrac{9}{{{x^2}}} - 7 \ge {x^2} - 7 \ge 2\,\,\left( {Do\,\,x \ge 3} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2y \le 3 \Rightarrow y = 1\,\,\left( {y \in {Z^ + }} \right)\\ \Rightarrow 3 = {x^2} + \dfrac{9}{{{x^2}}} - 7 \Leftrightarrow {x^2} + \dfrac{9}{{{x^2}}} - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 9\\{x^2} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm 3\\x = \pm 1\\x \ge 3\end{array} \right. \Rightarrow x = 3.\end{array}\)

Vậy các nghiệm nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) của hệ phương trình đã cho là \(\left( {1;1} \right);\,\,\left( {3;1} \right)\).

b) Giải phương trình: \({x^2} - 2\sqrt {2x - 1} = \frac{{13{x^2} - 28x + 24}}{{2x + 1}}\).

Điều kiện xác định: \(x \ge \frac{1}{2}.\)

Quy đồng thì phương trình đã cho trở thành:

\(\begin{array}{l}{x^2}\left( {2x + 1} \right) - 2\left( {2x + 1} \right)\sqrt {2x - 1} = 13{x^2} - 28x + 24\\ \Leftrightarrow 2{x^3} + {x^2} - 2\left( {2x - 1 + 2} \right)\sqrt {2x - 1} - 13{x^2} + 28x - 24 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^3} - 12{x^2} + 28x - 24 = 2{\left( {\sqrt {2x - 1} } \right)^3} + 4\sqrt {2x - 1} \\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^3} - 6{x^2} + 12x - 8} \right) + 4x - 8 = 2{\left( {\sqrt {2x - 1} } \right)^3} + 4\sqrt {2x - 1} \\ \Leftrightarrow 2{\left( {x - 2} \right)^3} + 4\left( {x - 2} \right) = 2{\left( {\sqrt {2x - 1} } \right)^3} + 4\sqrt {2x - 1} \end{array}\)

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = 2{t^3} + 4t\)

Với \({t_1} > {t_2} \Rightarrow f\left( {{t_1}} \right) - f\left( {{t_2}} \right) = 2t_1^3 - 2t_2^3 + 4\left( {{t_1} - {t_2}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( {{t_1}} \right) - f\left( {{t_2}} \right) = 2\left( {{t_1} - {t_2}} \right)\left( {t_1^2 + {t_1}{t_2} + t_2^2} \right) + 4\left( {{t_1} - {t_2}} \right)\\ \Rightarrow f\left( {{t_1}} \right) - f\left( {{t_2}} \right) = \left( {{t_1} - {t_2}} \right)\left( {2t_1^2 + 2{t_1}{t_2} + 2t_2^2 + 4} \right) > 0\\ \Rightarrow f\left( {{t_1}} \right) > f\left( {{t_2}} \right)\end{array}\)

Do đó: \(x - 2 = \sqrt {2x - 1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\{x^2} - 4x + 4 = 2x - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\{x^2} - 6x + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 5\).

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link