a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: \({x^2}\left( {y + 3} \right) = y{\left( {{x^2} - 3}

Câu hỏi số 272685:

Vận dụng

a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: \({x^2}\left( {y + 3} \right) = y{\left( {{x^2} - 3} \right)^2}\).

b) Giải phương trình: \({x^2} - 2\sqrt {2x - 1} = \frac{{13{x^2} - 28x + 24}}{{2x + 1}}\).

A. \(\begin{array}{l}
a)\,\,\left[ \begin{array}{l}
x = \pm 3\\
x = \pm 1
\end{array} \right.\\
b)\,\,\left[ \begin{array}{l}
x = 5\\
x = 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}
a)\,\,x = 3\\
b)\,\,x = 5
\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}
a)\,\,\left[ \begin{array}{l}
x = 3\\
x = 1
\end{array} \right.\\
b)\,\,\left[ \begin{array}{l}
x = 5\\
x = 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}
a)\,\,\left[ \begin{array}{l}
x = 3\\
x = 1
\end{array} \right.\\
b)\,\,x = 5
\end{array}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272685

Giải chi tiết

a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: \({x^2}\left( {y + 3} \right) = y{\left( {{x^2} - 3} \right)^2}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^2}\left( {y + 3} \right) = y{\left( {{x^2} - 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{y + 3}}{y} = {\left( {\dfrac{{{x^2} - 3}}{x}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 1 + \dfrac{3}{y} = {x^2} + \dfrac{9}{{{x^2}}} - 6.\end{array}\)

Nếu \(x = 1 \Rightarrow 1 + \dfrac{3}{y} = 4 \Leftrightarrow y = 1\)

Nếu \(x = 2 \Rightarrow 1 + \dfrac{3}{y} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow y = - 4\,\,\left( {ktm} \right)\).

Nếu \(x \ge 3 \Rightarrow \dfrac{3}{y} = {x^2} + \dfrac{9}{{{x^2}}} - 7 \ge {x^2} - 7 \ge 2\,\,\left( {Do\,\,x \ge 3} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2y \le 3 \Rightarrow y = 1\,\,\left( {y \in {Z^ + }} \right)\\ \Rightarrow 3 = {x^2} + \dfrac{9}{{{x^2}}} - 7 \Leftrightarrow {x^2} + \dfrac{9}{{{x^2}}} - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 9\\{x^2} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm 3\\x = \pm 1\\x \ge 3\end{array} \right. \Rightarrow x = 3.\end{array}\)

Vậy các nghiệm nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) của hệ phương trình đã cho là \(\left( {1;1} \right);\,\,\left( {3;1} \right)\).

b) Giải phương trình: \({x^2} - 2\sqrt {2x - 1} = \frac{{13{x^2} - 28x + 24}}{{2x + 1}}\).

Điều kiện xác định: \(x \ge \frac{1}{2}.\)

Quy đồng thì phương trình đã cho trở thành:

\(\begin{array}{l}{x^2}\left( {2x + 1} \right) - 2\left( {2x + 1} \right)\sqrt {2x - 1} = 13{x^2} - 28x + 24\\ \Leftrightarrow 2{x^3} + {x^2} - 2\left( {2x - 1 + 2} \right)\sqrt {2x - 1} - 13{x^2} + 28x - 24 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^3} - 12{x^2} + 28x - 24 = 2{\left( {\sqrt {2x - 1} } \right)^3} + 4\sqrt {2x - 1} \\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^3} - 6{x^2} + 12x - 8} \right) + 4x - 8 = 2{\left( {\sqrt {2x - 1} } \right)^3} + 4\sqrt {2x - 1} \\ \Leftrightarrow 2{\left( {x - 2} \right)^3} + 4\left( {x - 2} \right) = 2{\left( {\sqrt {2x - 1} } \right)^3} + 4\sqrt {2x - 1} \end{array}\)

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = 2{t^3} + 4t\)

Với \({t_1} > {t_2} \Rightarrow f\left( {{t_1}} \right) - f\left( {{t_2}} \right) = 2t_1^3 - 2t_2^3 + 4\left( {{t_1} - {t_2}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( {{t_1}} \right) - f\left( {{t_2}} \right) = 2\left( {{t_1} - {t_2}} \right)\left( {t_1^2 + {t_1}{t_2} + t_2^2} \right) + 4\left( {{t_1} - {t_2}} \right)\\ \Rightarrow f\left( {{t_1}} \right) - f\left( {{t_2}} \right) = \left( {{t_1} - {t_2}} \right)\left( {2t_1^2 + 2{t_1}{t_2} + 2t_2^2 + 4} \right) > 0\\ \Rightarrow f\left( {{t_1}} \right) > f\left( {{t_2}} \right)\end{array}\)

Do đó: \(x - 2 = \sqrt {2x - 1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\{x^2} - 4x + 4 = 2x - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\{x^2} - 6x + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 5\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link