Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính \(AB = 2R\), H là điểm cố định trên OA \(\left( {H \ne

Câu hỏi số 272686:

Vận dụng cao

Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính \(AB = 2R\), H là điểm cố định trên OA \(\left( {H \ne O;\,\,H \ne A} \right)\). Đường thẳng qua H vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại C. Gọi E là điểm thay đổi trên cung AC \(\left( {E \ne A;E \ne C} \right)\), F thay đổi trên cung BC \(\left( {F \ne B;F \ne C} \right)\) sao cho \(\widehat {EHC} = \widehat {FHC}\).

a) Chứng minh rằng tứ giác EHOF nội tiếp.

b) Gọi R’ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác EHOF. Tính \(\widehat {EHF}\) khi \(R = R'\).

c) Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua 1 điểm cố định.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272686

Giải chi tiết

a) CMR: EHOF là tứ giác nội tiếp.

Qua E kẻ dây cung ED vuông góc với AB thì H thuộc trung trực của ED \( \Rightarrow \widehat {AHD} = \widehat {EHA}\)

Ta có: \(\widehat {EHC} = \widehat {FHC} \Rightarrow {90^0} - \widehat {EHC} = {90^0} - \widehat {FHC} \Rightarrow \widehat {EHA} = \widehat {FHB}\)

\( \Rightarrow \widehat {AHD} = \widehat {EHA} = \widehat {FHB}\), mà hai góc này ở vị trí đối đỉnh nên D, H, F thẳng hàng.

Ta lại có: \(\Delta OEF\) cân tại O \( \Rightarrow \widehat {OEF} = \widehat {OFE}\)

\(\begin{array}{l}\widehat {OEF} + \widehat {OFE} + \widehat {EOF} = {180^0} \Rightarrow 2\widehat {OFE} = {180^0} - \widehat {EOF}\\ \Rightarrow \widehat {OFE} = {90^0} - \frac{{\widehat {EOF}}}{2} = {90^0} - \widehat {EDF} = \widehat {AHD} = \widehat {EHA}\end{array}\)

Suy ra tứ giác EHOF là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện bằng nhau)

b) Gọi R’ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác EHOF. Tính \(\widehat {EHF}\) khi \(R = R'\).

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác EHOF. Vì \(R = R'\) nên IO = IE = IF = EO = OF

\( \Rightarrow \) tam giác IEO và tam giác IOF là các tam giác đều.

Do vậy: \(\widehat {EHF} = \widehat {EOF} = {120^0}.\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EF).

c) Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua 1 điểm cố định.

Kéo dài FE cắt BA tại J. Ta sẽ chứng minh J cố định.

Ta có: \(OE = OF \Rightarrow sdcungOE = sdcungOF \Rightarrow \widehat {OFJ} = \widehat {OHF}\)

Xét tam giác OHF và tam giác OFJ có:

\(\begin{array}{l}\widehat {OHF} = \widehat {OFJ}\,\,\left( {cmt} \right);\\\widehat {FOJ}\,\,chung\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta OHF \backsim \Delta OFJ\,\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{OH}}{{OF}} = \frac{{OF}}{{OJ}} \Rightarrow OH.OJ = O{F^2} = O{C^2} \Rightarrow OC \bot CJ\end{array}\)

\( \Rightarrow \) CJ là tiếp tuyến của (O) tại C.

Vì C cố định nên J cố định.

Ta có điều phải chứng minh.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link