a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \(3{x^2} - 2xy + y - 5x + 2 = 0\) b) Cho a, b, c

Câu hỏi số 272852:

Vận dụng

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \(3{x^2} - 2xy + y - 5x + 2 = 0\)

b) Cho a, b, c là các số nguyên. Chứng minh nếu \({a^{2016}} + {b^{2017}} + {c^{2018}}\) chia hết cho 6 thì \({a^{2018}} + {b^{2019}} + {c^{2020}}\) cũng chia hết cho 6.

A. Vô nghiệm

B. \(a)\,\,\left( {0; - 2} \right)\)

C. \(a)\,\,\left( {1;0} \right)\)

D. \(a)\,\,\left( {1;0} \right);\,\,\left( {0; - 2} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272852

Phương pháp giải

a) Tiến hành rút y theo x rồi tìm điều kiện chia hết.

b) Chứng minh lần lượt biểu thức chia hết cho 2 và 3.

Giải chi tiết

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \(3{x^2} - 2xy + y - 5x + 2 = 0\)

Ta có:

Phương trình đã cho tương đương với:

\(\begin{array}{l}3{x^2} - 2xy + y - 5x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 5x + 2 = 2xy - y\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 5x + 2 = y\left( {2x - 1} \right)\\ \Rightarrow y = \frac{{3{x^2} - 5x + 2}}{{2x - 1}}\,\,\left( {Do\,\,x \in Z \Rightarrow 2x - 1 \ne 0} \right)\end{array}\)

Do x, y nguyên nên:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\left( {3{x^2} - 5x + 2} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {2x - 1} \right)\\3{\left( {2x - 1} \right)^2}\,\, \vdots \,\,\left( {2x - 1} \right)\,\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {4(3{x^2} - 5x + 2) - 3{{\left( {2x - 1} \right)}^2}} \right]\,\, \vdots \,\,\left( {2x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ { - 20x + 8 - 3\left( { - 4x + 1} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,\left( {2x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( { - 8x + 5} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {2x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ { - 8x + 5 + 4\left( {2x - 1} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,\left( {2x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 1\,\, \vdots \,\,\left( {2x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 1 = 1\\2x - 1 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 0\\x = 0 \Rightarrow y = - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy các nghiệm nguyên \(\left( {x;y} \right)\) của phương trình đã cho là \(\left( {1;0} \right);\,\,\left( {0; - 2} \right)\).

b) Cho a, b, c là các số nguyên. Chứng minh nếu \({a^{2016}} + {b^{2017}} + {c^{2018}}\) chia hết cho 6 thì \({a^{2018}} + {b^{2019}} + {c^{2020}}\) cũng chia hết cho 6.

Ta có:

\(\begin{array}{l}{a^{2018}} + {b^{2019}} + {c^{2020}} - \left( {{a^{2016}} + {b^{2017}} + {c^{2018}}} \right)\\ = {a^{2016}}\left( {{a^2} - 1} \right) + {b^{2017}}\left( {{b^2} - 1} \right) + {c^{2018}}\left( {{c^2} - 1} \right)\\ = {a^{2015}}.a.\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right) + {b^{2016}}.b.\left( {b - 1} \right)\left( {b + 1} \right) + {c^{2017}}.c.\left( {c - 1} \right)\left( {c + 1} \right)\end{array}\)

Ta có: tích 3 số tự nhiên liên tiếp sẽ chia hết cho 6 do: có 1 số chẵn và 1 số chia hết cho 3.

Do vậy:

\(a\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right);\,\,b\left( {b - 1} \right)\left( {b + 1} \right);\,\,c\left( {c - 1} \right)\left( {c + 1} \right)\) đều chia hết cho 6 nên:

\(\left[ {{a^{2018}} + {b^{2019}} + {c^{2020}} - \left( {{a^{2016}} + {b^{2017}} + {c^{2018}}} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,6\)

Mà \(\left( {{a^{2016}} + {b^{2017}} + {c^{2018}}} \right)\,\, \vdots \,\,6\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \left( {{a^{2018}} + {b^{2019}} + {c^{2020}}} \right)\,\, \vdots \,\,6\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link