Cho hàm số \(y = \frac{{m\cos x + m - 1}}{{\sin \,x + \cos x + 3}}\). Tìm m để \(y < 1,\,\,\forall x \in

Câu hỏi số 278930:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \frac{{m\cos x + m - 1}}{{\sin \,x + \cos x + 3}}\). Tìm m để \(y < 1,\,\,\forall x \in R\).

A. \(m < 0\).

B. \(\frac{7}{3} \le m \le 5\).

C. \(m < \frac{7}{3}\).

D. \(0 < m < \frac{7}{3}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:278930

Phương pháp giải

\(\begin{array}{l}\sin f\left( x \right) < m\,\,\forall x \in R \Leftrightarrow m > 1\\\sin f\left( x \right) > mm\,\,\forall x \in R \Leftrightarrow m < - 1\end{array}\)

Giải chi tiết

\(y < 1,\,\,\forall x \in R \Leftrightarrow \frac{{m\cos x + m - 1}}{{\sin \,x + \cos x + 3}} < 1,\,\,\forall x \in R \Leftrightarrow m\cos x + m - 1 < \sin \,x + \cos x + 3,\,\,\forall x \in R\)

(vì \(\sin \,x + \cos x + 3 > 0,\,\,\forall x \in R\))

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\cos x - \sin \,x < 4 - m,\,\,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{{\sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 1} }}\cos x - \frac{1}{{\sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 1} }}\sin \,x < \frac{{4 - m}}{{\sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 1} }},\,\,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow \sin \alpha \cos x - \cos \alpha \sin \,x < \frac{{4 - m}}{{\sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 1} }},\,\,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow \sin \left( {\alpha - x} \right) < \frac{{4 - m}}{{\sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 1} }},\,\,\forall x \in R\end{array}\)

( với \(\sin \alpha = \frac{{m - 1}}{{\sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 1} }},\,\,\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 1} }}\))

Để bất phương trình luôn đúng với \(\forall x \in R\) thì \(\frac{{4 - m}}{{\sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 1} }} > 1 \Leftrightarrow {\left( {4 - m} \right)^2} > {\left( {m - 1} \right)^2} + 1\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 16 > {m^2} - 2m + 1 + 1 \Leftrightarrow 6m < 14 \Leftrightarrow m < \frac{7}{3}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.