a) Cho tam giác nhọn \(ABC\), \(AB = 2a,\,AC = 3a,\,\,\widehat {BAC} = {60^0}\). Về phía ngoài tam giác, dựng

Câu hỏi số 278954:

Vận dụng

a) Cho tam giác nhọn \(ABC\), \(AB = 2a,\,AC = 3a,\,\,\widehat {BAC} = {60^0}\). Về phía ngoài tam giác, dựng tam giác \(ACD\) vuông cân tại đỉnh \(A\). Tính độ dài các đoạn thẳng \(BC,\,BD\) và các tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {BD} .\,\overrightarrow {AC} \) theo \(a\).

b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có ba đỉnh \(A\left( {1;2} \right),\,B\left( { - 1; - 1} \right),\,C\left( {2; - 1} \right)\). Tìm tọa độ trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:278954

Phương pháp giải

a) Định lý Côsin: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)

Tích vô hướng: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\).

b) Xác định tọa độ điểm \(H\left( {a;b} \right)\) để \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

*) Tính \(BC,\,BD\):

Ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos \widehat {BAC}\)

\(\begin{array}{l} = {\left( {2a} \right)^2} + {\left( {3a} \right)^2} - 2.2a.3a.\cos {60^0} = {\left( {2a} \right)^2} + {\left( {3a} \right)^2} - 2.2a.3a.\frac{1}{2}\\ = 4{a^2} + 9{a^2} - 6{a^2} = 7{a^2}\,\, \Rightarrow BC = a\sqrt 7 \end{array}\)

Do tam giác \(ACD\)dựng vêc phía ngoài tam giác\(ABC\) nên:

\(\widehat {BAD} = \widehat {BAC} + \widehat {CAD} = {60^0} + {90^0} = {150^0}\)

Khi đó:

\(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2.AB.AD.\cos \widehat {BAD} = {\left( {2a} \right)^2} + {\left( {3a} \right)^2} - 2.2a.3a.\cos {150^0} = {\left( {2a} \right)^2} + {\left( {3a} \right)^2} - 2.2a.3a.\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\)

\( = 4{a^2} + 9{a^2} + 6\sqrt 3 {a^2} = \left( {13 + 6\sqrt 3 } \right){a^2}\,\,\, \Rightarrow BD = a\sqrt {13 + 6\sqrt 3 } \)

*) Tính \(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC} ,\,\,\overrightarrow {BD} .\,\overrightarrow {AC} \):

\(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = 2a.3a.\cos {60^0} = 3{a^2}\)

\(\overrightarrow {BD} .\,\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} } \right).\,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BA} \,.\overrightarrow {AC} + \,\overrightarrow {AD} .\,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BA} \,.\overrightarrow {AC} + 0\) (do \(AD \bot AC\))

\( = \overrightarrow {BA} \,.\overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {AB} \,.\overrightarrow {AC} = - 3{a^2}\)

Vậy, \(BC = a\sqrt 7 \), \(BD = a\sqrt {13 + 6\sqrt 3 } \), \(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {AC} = 3{a^2}\), \(\overrightarrow {BD} .\,\overrightarrow {AC} = - 3{a^2}\).

Do \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right.\) (*)

Giả sử \(H\left( {a;b} \right)\), khi đó: \(\overrightarrow {AH} = \left( {a - 1;b - 2} \right),\,\,\overrightarrow {BH} = \left( {a + 1;b + 1} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( {3;0} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 3} \right)\)

\(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 1} \right).3 + \left( {b - 2} \right).0 = 0\\\left( {a + 1} \right).1 + \left( {b + 1} \right).\left( { - 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 0\\a + 1 - 3b - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\ - 3b - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - \frac{1}{3}\end{array} \right.\)

Vậy, \(H\left( {1; - \frac{1}{3}} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.