Cho x, y là các số thực thỏa mãn \({\log _2}\frac{y}{{2\sqrt {1 + x} }} = 3\left( {y - \sqrt {1 + x} } \right)

Câu hỏi số 279111:

Vận dụng cao

Cho x, y là các số thực thỏa mãn \({\log _2}\frac{y}{{2\sqrt {1 + x} }} = 3\left( {y - \sqrt {1 + x} } \right) - {y^2} + x\). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(K = x - y\) ?

A. \(\min K = - \frac{3}{4}\)

B. \(\min K = - \frac{5}{4}\)

C. \(\min K = - 2\)

D. \(\min K = - 1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:279111

Phương pháp giải

Xét hàm đặc trưng.

Giải chi tiết

ĐK: \(y > 0;\,\,x \ne - 1\).

\(\begin{array}{l}{\log _2}\frac{y}{{2\sqrt {1 + x} }} = 3\left( {y - \sqrt {1 + x} } \right) - {y^2} + x\\ \Leftrightarrow {\log _2}y - {\log _2}\sqrt {1 + x} - 1 = 3y - 3\sqrt {1 + x} - {y^2} + x\\ \Leftrightarrow {\log _2}y - 3y + {y^2} = {\log _2}\sqrt {1 + x} - 3\sqrt {1 + x} + 1 + x\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t - 3t + {t^2}\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} - 3 + 2t = \frac{{2\ln 2.{t^2} - 3\ln 2.t + 1}}{{t\ln 2}}\)

Xét phương trình tử số có \(\Delta = {\left( {3\ln 2} \right)^2} - 4.2\ln 2 = 9{\ln ^2}2 - 8\ln 2 < 0 \Rightarrow 2\ln 2.{t^2} - 3\ln 2.t + 1 > 0\,\,\forall t\)

\( \Rightarrow f'\left( t \right) > 0\,\,\forall t > 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Mà \(f\left( y \right) = f\left( {\sqrt {1 + x} } \right) \Leftrightarrow y = \sqrt {1 + x} \Leftrightarrow {y^2} = 1 + x \Leftrightarrow x = {y^2} - 1\)

\( \Leftrightarrow K = x - y = {y^2} - y - 1 = {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4} \ge - \frac{5}{4}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}\).

Vậy \(\min K = - \frac{5}{4}\).

Chọn đáp án B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.