Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng \(\left( d \right):\;\;y = 2mx + 1\) (m là tham số) và

Câu hỏi số 282386:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng \(\left( d \right):\;\;y = 2mx + 1\) (m là tham số) và parabol \(\left( P \right):\;\;y = {x^2}.\)

1) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (d) luôn đi qua A cố định thuộc Oy và d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

2) Gọi M, N là giao điểm của d và (P), B và C là hình chiếu của M, N xuống Ox. Chứng minh: \(OB.OC = O{A^2}\) và tam giác ABC vuông tại A.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:282386

Phương pháp giải

1) Khi m thay đổi thì 2mx luôn = 0 khi x = 0 do đó luôn đi qua điểm (0; 1). Lập phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) để suy ra điều phải chứng minh.

2) Sử dụng Viet để tìm ra tọa độ của B và C. Lưu ý hình chiếu của M, N xuống trục Ox thì sẽ được điểm có hoành độ tương tự và tung độ = 0.

Giải chi tiết

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng \(\left( d \right):\;\;y = 2mx + 1\) (m là tham số) và parabol \(\left( P \right):\;\;y = {x^2}.\)

1) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (d) luôn đi qua A cố định thuộc Oy và d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

Gọi \(A\left( {{x_0};\;{y_0}} \right)\) là điểm cố định thuộc \(\left( d \right):\;y = 2mx + 1.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {y_0} = 2m{x_0} + 1\;\;\forall m\\ \Leftrightarrow 2m{x_0} = {y_0} - 1\;\forall m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{y_0} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{y_0} = 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;\;1} \right).\end{array}\)

Vậy đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn đi qua điểm \(A\left( {0;\;1} \right)\) cố định thuộc trục \(Oy.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là:

\(2mx + 1 = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 1 = 0\;\;\;\left( * \right)\)

Phương trình có: \(\Delta = 4{m^2} + 4 > 0,\forall m \in R\)

Do đó phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt hay đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt với mọi \(m.\)

2) Gọi M, N là giao điểm của d và (P), B và C là hình chiếu của M, N xuống Ox. Chứng minh: \(OB.OC = O{A^2}\) và tam giác ABC vuông tại A.

Vì \(M\left( {{x_M};\;{y_M}} \right),\;\;N\left( {{x_N};\;{y_N}} \right)\) là hai giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right) \Rightarrow {x_M},\;{x_N}\) là hai nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\)

Áp dụng định lý Vi-et với phương trình \(\left( * \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} + {x_N} = 2m\\{x_M}{x_N} = - 1\end{array} \right..\)

Ta có B và C lần lượt là hình chiếu của M và N trên trục Ox nên ta có: \(B\left( {{x_M};\,\,0} \right);\,\,\,C\left( {{x_N};\,\,0} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow OB = \sqrt {x_M^2} ,\;\;OC = \sqrt {x_N^2} \Rightarrow OB.OC = \sqrt {{{\left( {{x_M}{x_N}} \right)}^2}} = 1\\\;\;\;\;\;OA = \sqrt {{1^2}} = 1\\ \Rightarrow OB.OC = O{A^2}.\;\;\;\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} = 1 + x_M^2;\\A{C^2} = O{A^2} + O{C^2} = 1 + x_N^2\\B{C^2} = {\left( {OB + OC} \right)^2} = {\left( {\left| {{x_M}} \right| + \left| {{x_N}} \right|} \right)^2} = {\left( {{x_M} - {x_N}} \right)^2}\\ \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = 1 + x_M^2 + 1 + x_N^2 = 2 + {\left( {{x_M} + {x_N}} \right)^2} - 2{x_M}{x_N}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 2 + {(2m)^2} + 2 = 4{m^2} + 4.\\B{C^2} = {({x_M} + {x_N})^2} - 4{x_M}{x_N} = {(2m)^2} + 4 = 4{m^2} + 4.\\ \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}.\end{array}\)

Theo định lý Py-ta-go đảo ta có tam giác ABC vuông tại A.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link