Cho phương trình \({\left( {\dfrac{{\tan \frac{\pi }{{12}}}}{{1 - \tan \frac{\pi }{{12}}}}}

Câu hỏi số 283477:

Vận dụng

Cho phương trình \({\left( {\dfrac{{\tan \frac{\pi }{{12}}}}{{1 - \tan \frac{\pi }{{12}}}}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} + \dfrac{{\sqrt[4]{{12}}\tan \frac{\pi }{{12}}}}{{1 - \tan \frac{\pi }{{12}}}}.{\left( {\dfrac{1}{{1 + \tan \frac{\pi }{{12}}}}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} \) \(= 2017.{\left( {\dfrac{1}{{2\sqrt 3 }}} \right)^{\frac{x}{{4034}}}}\). Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình đã cho.

A. 0.

B. 1.

C. -1.

D. 2017.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:283477

Phương pháp giải

\(\tan \left( {a + b} \right) = \dfrac{{\tan \,a + \tan b}}{{1 - \tan \,a\,\tan b}},\,\,\,\,\,\tan \left( {a - b} \right) = \dfrac{{\tan \,a - \tan b}}{{1 + \tan \,a\,\tan b}}\)

Giải chi tiết

\(\tan \dfrac{\pi }{{12}} = \tan \left( {\dfrac{\pi }{4} - \dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{{\tan \,\frac{\pi }{4} - \tan \frac{\pi }{6}}}{{1 + \tan \frac{\pi }{4}\,\tan \frac{\pi }{6}}} \)

\(= \dfrac{{1 - \frac{1}{{\sqrt 3 }}}}{{1 + 1.\frac{1}{{\sqrt 3 }}}} = \dfrac{{\sqrt 3 - 1}}{{\sqrt 3 + 1}} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}} = \dfrac{{4 - 2\sqrt 3 }}{2} = 2 - \sqrt 3 \)

Phương trình đã cho tương đương với:

\(\begin{array}{l}{\left( {\dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{{1 - \left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} + \dfrac{{\sqrt[4]{{12}}.\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{{1 - \left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}.{\left( {\dfrac{1}{{1 + \left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} = 2017.{\left( {\dfrac{1}{{\sqrt[4]{{12}}}}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}}\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 - 1}}{2}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} + \dfrac{{\sqrt[4]{{12}}.\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}.{\left( {\dfrac{1}{{3 - \sqrt 3 }}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} = 2017.{\left( {\dfrac{1}{{\sqrt[4]{{12}}}}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}}\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sqrt[4]{{12}}}}{2}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} + \dfrac{{\sqrt[4]{{12}}.\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}.{\left( {\dfrac{{\sqrt[4]{{12}}}}{{3 - \sqrt 3 }}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} = 2017\end{array}\)

Do \(\,\left( {\dfrac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sqrt[4]{{12}}}}{2}} \right)\left( {\dfrac{{\sqrt[4]{{12}}}}{{3 - \sqrt 3 }}} \right) = \dfrac{{\sqrt {12} }}{{2\sqrt 3 }} = 1\) nên đặt \({\left( {\dfrac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sqrt[4]{{12}}}}{2}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} = t,\,\,\left( {t > 0} \right) \Rightarrow {\left( {\dfrac{{\sqrt[4]{{12}}}}{{3 - \sqrt 3 }}} \right)^{\frac{x}{{2017}}}} = \dfrac{1}{t}\)

\( \Rightarrow t + \dfrac{{\sqrt[4]{{12}}.\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}.\dfrac{1}{t} = 2017 \Leftrightarrow 2{t^2} - 4034t + \sqrt[4]{{12}}.\left( {\sqrt 3 - 1} \right) = 0\) (1)

Giả sử \({t_1},\,\,{t_2}\) là nghiệm của phương trình (1). Theo Vi ét: \({t_1}{t_2} = \dfrac{{\sqrt[4]{{12}}.\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}{\left( {\dfrac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sqrt[4]{{12}}}}{2}} \right)^{\frac{{{x_1}}}{{2017}}}}.{\left( {\dfrac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sqrt[4]{{12}}}}{2}} \right)^{\frac{{{x_2}}}{{2017}}}} = \dfrac{{\sqrt[4]{{12}}.\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sqrt[4]{{12}}}}{2}} \right)^{\frac{{{x_1} + {x_2}}}{{2017}}}} = \dfrac{{\sqrt[4]{{12}}.\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}\\ \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 2017\end{array}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.