Cho \(\Delta ABC\) có \(\angle A = {90^0}\) và \(AH\) là đường cao. Gọi \(D\) là điểm đối xứng

Câu hỏi số 284080:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) có \(\angle A = {90^0}\) và \(AH\) là đường cao. Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(AB,\,E\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(AC\) . Gọi \(I\) là giao điểm của \(AB\) và \(DH,\,K\) là giao điểm của \(AC\) và \(HE\) .

a. Tứ giác \(AIHK\) là hình gì? Vì sao?

b. Chứng minh ba điểm \(D,\,A,\,E\) thẳng hàng.

c. Chứng minh: \(CB = B{\rm{D}} + CE\)

d. Biết diện tích tứ giác \(AIHK\) là \(a\) (đvdt). Tính diện tích \(\Delta DHE\) theo \(a\) .

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:284080

Phương pháp giải

- Áp dụng tính chất hai điểm đối xứng qua đường thẳng, tính chất tam giác cân.

- Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật.

- Áp dụng công thức tính diện tích tam giác.

Giải chi tiết

a. Vì \(D\) và \(H\) đối xứng với nhau qua \(AB\left( {gt} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}DI = IH\\DH \bot AB = \left\{ I \right\}\end{array} \right.\) (tính chất đối xứng trục)

\( \Rightarrow \angle HIA = {90^0}\)

Vì \(H\) và \(E\) đối xứng với nhau qua \(AC\left( {gt} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}HK = KE\\HE \bot AC = \left\{ K \right\}\end{array} \right.\) (tính chất đối xứng trục)

\( \Rightarrow \angle HKA = {90^0}\)

Xét tứ giác \(AIHK\) có: \(\angle AIH = \angle IAK = \angle AKH = {90^0} \Rightarrow AIHK\) là hình chữ nhật (dhnb)

b. Vì \(D\) và \(H\) đối xứng với nhau qua \(AB\left( {gt} \right) \Rightarrow AB\) là đường trung trực của \(DH\) (tính chất)

\( \Rightarrow DA = AH\) (tính chất)

\( \Rightarrow \Delta A{\rm{D}}H\) cân tại \(A\).

Mà \(AI\) là đường cao nên cũng là tia phân giác của \(\angle DAH\) (tính chất tam giác cân)

\( \Rightarrow \angle DAI = \angle IAH\) (tính chất tia phân giác) (1)

Vì \(E\) và \(H\) đối xứng với nhau qua \(AC\left( {gt} \right) \Rightarrow AC\) là đường trung trực của \(EH\) (tính chất)

\( \Rightarrow HA = AE\) (tính chất điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng)

\( \Rightarrow \Delta AEH\) cân tại \(A\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

Mà \(AK\) là đường cao nên cũng là tia phân giác của \(\angle EAH\) (tính chất tam giác cân)

\( \Rightarrow \angle HAK = \angle KAE\) (tính chất tia phân giác) (2)

Lại có: \(\angle IAH + \angle HAK = {90^0}\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle DAI + \angle K{\rm{AE}} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \angle DAI + \angle IAH + \angle HAK + \angle K{\rm{AE}} = {180^0} \Rightarrow D,\,A,\,E\) thẳng hàng.

c. Vì \(AB\) là đường trung trực của \(DH\left( {cmt} \right) \Rightarrow DB = BH\) (tính chất)

Vì \(AC\) là đường trung trực của \(EH\left( {cmt} \right) \Rightarrow HC = CE\) (tính chất)

Mà \(BC = BH + HC \Rightarrow BC = B{\rm{D}} + CE\). (đpcm)

d. Do \(\Delta A{\rm{D}}H\) là tam giác cân tại \(A\left( {cmt} \right)\) mà \(AI\) là đường cao nên\( \Rightarrow {S_{\Delta DAI}} = {S_{\Delta HAI}}\)

Lại có, \(\Delta AHE\) cân tại \(A\left( {cmt} \right)\) mà \(AK\) là đường cao nên\( \Rightarrow {S_{\Delta AHK}} = {S_{\Delta AKE}}\)

Do đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_{AIHK}} = {S_{AIH}} + {S_{AHK}}\\{S_{DEH}} = {S_{AIH}} + {S_{AHK}} + {S_{DAI}} + {S_{AKE}} = 2\left( {{S_{AIH}} + {S_{AHK}}} \right) = 2{S_{AIHK}} = 2a\end{array} \right.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link