Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC; K là điểm thuộc cạnh AC sao cho \(KC = 2AK\). a) (1

Câu hỏi số 286492:

Vận dụng cao

Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC; K là điểm thuộc cạnh AC sao cho \(KC = 2AK\).

a) (1 điểm) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {AI} ;\,\,\overrightarrow {AK} ;\,\overrightarrow {KI} \) theo 2 vectơ \(\overrightarrow {AB;} \,\,\overrightarrow {AC} \).

b) (0;5 điểm) Xác định vị trí của M sao cho \(2M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. \(\begin{array}{l}
a)\,\,\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \\
\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {AK} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \\
\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {KI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \\
b)\,\,M \equiv I
\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}
a)\,\,\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \\
\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {AK} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \\
\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {KI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC}
\end{array}\)

b) M là trung điểm của AI

C. \(\begin{array}{l}
a)\,\,\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \\
\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {AK} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \\
\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {KI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \\
b)\,\,M \equiv I
\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}
a)\,\,\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \\
\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {AK} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \\
\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {KI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC}
\end{array}\)

b) M là trung điểm của AI

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:286492

Giải chi tiết

a) Vì I là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AI} \Rightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

Vì \(KC = 2AK\) nên \(AK = \frac{1}{3}AC \Rightarrow \overrightarrow {AK} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

Ta có: \(\overrightarrow {KI} = \overrightarrow {AI} - \overrightarrow {AK} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \)

b) Đặt \(A = 2M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) ta có:

\(\begin{array}{l}A = 2{\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2}\\A = 2{\left( {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JC} } \right)^2}\\A = 2M{J^2} + 4\overrightarrow {MJ} .\overrightarrow {JA} + 2J{A^2} + M{J^2} + 2\overrightarrow {MJ} .\overrightarrow {JB} + J{B^2} + M{J^2} + 2\overrightarrow {MJ} .\overrightarrow {JC} + J{C^2}\\A = 4M{J^2} + 2\overrightarrow {MJ} \left( {2\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {JB} + \overrightarrow {JC} } \right) + J{A^2} + J{B^2} + J{C^2}\end{array}\)

Gọi J là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {JB} + \overrightarrow {JC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {JA} + 2\overrightarrow {JI} = 0 \Leftrightarrow \) J là trung điểm của AI.

Khi đó ta có: \(A = 4M{J^2} + 2J{A^2} + J{B^2} + J{C^2}\)

Vì \(2J{A^2} + J{B^2} + J{C^2} = const \Rightarrow {A_{\min }} \Leftrightarrow M{J_{\min }} \Leftrightarrow M \equiv J\).

Vậy \(A = 2M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) nhỏ nhất khi và chỉ khi M là trung điểm của AI.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.