Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC; K là điểm thuộc cạnh AC sao cho \(KC = 2AK\). a) (1

Câu hỏi số 286492:

Vận dụng cao

Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC; K là điểm thuộc cạnh AC sao cho \(KC = 2AK\).

a) (1 điểm) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {AI} ;\,\,\overrightarrow {AK} ;\,\overrightarrow {KI} \) theo 2 vectơ \(\overrightarrow {AB;} \,\,\overrightarrow {AC} \).

b) (0;5 điểm) Xác định vị trí của M sao cho \(2M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. \(\begin{array}{l}
a)\,\,\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \\
\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {AK} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \\
\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {KI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \\
b)\,\,M \equiv I
\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}
a)\,\,\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \\
\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {AK} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \\
\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {KI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC}
\end{array}\)

b) M là trung điểm của AI

C. \(\begin{array}{l}
a)\,\,\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \\
\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {AK} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \\
\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {KI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \\
b)\,\,M \equiv I
\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}
a)\,\,\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \\
\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {AK} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \\
\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {KI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC}
\end{array}\)

b) M là trung điểm của AI

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:286492

Giải chi tiết

a) Vì I là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AI} \Rightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

Vì \(KC = 2AK\) nên \(AK = \frac{1}{3}AC \Rightarrow \overrightarrow {AK} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

Ta có: \(\overrightarrow {KI} = \overrightarrow {AI} - \overrightarrow {AK} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \)

b) Đặt \(A = 2M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) ta có:

\(\begin{array}{l}A = 2{\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2}\\A = 2{\left( {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JC} } \right)^2}\\A = 2M{J^2} + 4\overrightarrow {MJ} .\overrightarrow {JA} + 2J{A^2} + M{J^2} + 2\overrightarrow {MJ} .\overrightarrow {JB} + J{B^2} + M{J^2} + 2\overrightarrow {MJ} .\overrightarrow {JC} + J{C^2}\\A = 4M{J^2} + 2\overrightarrow {MJ} \left( {2\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {JB} + \overrightarrow {JC} } \right) + J{A^2} + J{B^2} + J{C^2}\end{array}\)

Gọi J là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {JB} + \overrightarrow {JC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {JA} + 2\overrightarrow {JI} = 0 \Leftrightarrow \) J là trung điểm của AI.

Khi đó ta có: \(A = 4M{J^2} + 2J{A^2} + J{B^2} + J{C^2}\)

Vì \(2J{A^2} + J{B^2} + J{C^2} = const \Rightarrow {A_{\min }} \Leftrightarrow M{J_{\min }} \Leftrightarrow M \equiv J\).

Vậy \(A = 2M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) nhỏ nhất khi và chỉ khi M là trung điểm của AI.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10