Giải phương trình + 2|x| = 3x+1.

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Phương trình, Bất PT và hệ PT đại số

Câu hỏi số 2889:

Giải phương trình $3^{\sqrt{x^{2}+1}}$ + 2|x| = 3^x+1.

A. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.

B. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = -1.

C. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0.

D. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:2889

Giải chi tiết

Phương trình đã cho xác định với mọi x ∈ R.

Xét hai trường hợp sau : TH1: x < 0. Khi đó ta có $3^{\sqrt{x^{2}+1}}$ + 2|x| > 3> 3^x+1, nên phương trình đã cho không có nghiệm trong khoảng (0; + ∞).

TH2: x ≥ 0. Chú ý rằng 2x = (x + 1)² – ( $\sqrt{x^{2}+1}$ )² , nên phương trình đã cho trở thành

$3^{\sqrt{x^{2}+1}}$ + 2x = 3^x+1 ⇔ -( $\sqrt{x^{2}+1}$ )² = 3^x+1 –(x +1)². (1)

Xét hàm số f(t) = 3^t – t², với t ∈[1;+ ∞).

Ta có f’(t) = 3^tln3 -2t, với t ∈[1;+ ∞)

Và f’’(t) = 3^t (ln3)² –2 , với t ∈[1;+ ∞).

Vì 3^t (ln3)² –2 ≥ 3(ln3)² -2 > 0, ∀t ≥ 1, nên f’’(t) > 0, ∀t ≥1.

Suy ra f’(t) là hàm số đồng biến trên khoảng [1; + ∞).

Từ đó suy ra f’(t) ≥f’(1) = 3ln3 -2 > 0, ∀t ≥1.

Do đó f(t) là hàm số đồng biến trên khoảng [1; + ∞).

Phương trình (1) có dạng f( $\sqrt{x^{2}+1}$ )= f(x +1) và $\sqrt{x^{2}+1}$ , x +1 đều thuộc nửa khoảng [1; + ∞), nên phương trình đó tương đương với

$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x^{2}+1}=x+1\\x\geq 0\end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix}x^{2}+1=x^{2}+2x+1\\x\geq 0\end{matrix}\right.$ ⇔ x = 0.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.