Cho các số thực dương x,y thỏa mãn 3xy + 3 = x4 + y4 + .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2y2 + .

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 2893:

Cho các số thực dương x,y thỏa mãn 3xy + 3 = x⁴ + y⁴ + $\frac{2}{xy}$ .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x²y² + $\frac{16}{x^{2}+y^{2}+2}$ .

A. Giá trị lớn nhất của P là $\frac{20}{7}$

B. Giá trị lớn nhất của P là $\frac{15}{7}$

C. Giá trị lớn nhất của P là $\frac{20}{3}$

D. Giá trị lớn nhất của P là $\frac{13}{7}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:2893

Giải chi tiết

Đặt xy = t > 0. Từ giả thiết ta có

3xy + 3 = x⁴ + y⁴ + $\frac{2}{xy}$ ≥ 2x²y² + $\frac{2}{xy}$ , hay 3t + 3 = 2t² + $\frac{2}{t}$

⇔ 2t³– 3t² -3t + 2 ≤ 0

⇔ ( t + 1)( 2t -1)(t -2) ≤ 0 ⇔ $\frac{1}{2}$ ≤ t ≤ 2, vì t > 0.

Ta lại có P ≤ x²y² + $\frac{16}{2xy+2}$ ≤ t² + $\frac{8}{t+1}$ . (1)

Xét hàm số f(t) = t² + $\frac{8}{t+1}$ , ≤ t ≤ 2.

Ta có f’(t) = 2t - $\frac{8}{(t+1)^{2}}$ , $\frac{1}{2}$ ≤ t ≤ 2

f’(t) =0 ⇔ $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{2}\leq t\leq 2\\t(t+2)^{2}-4=0\end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{2}\leq t\leq 2\\(t-1)(t^{2}+3t+4)=0\end{matrix}\right.$ ⇔ t =1.

Ta có f(1) =5, f(2) = $\frac{20}{3}$ , f( $\frac{1}{2}$ ) = $\frac{67}{12}$ . (2)

Từ (1) và (2) suy ra P ≤ $\frac{20}{3}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix}xy=2\\x=y> 0\end{matrix}\right.$ ⇔ x= y =1

Vậy giá trị lớn nhất của P là $\frac{20}{3}$ , đạt khi x = y =1.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.