Phương trình \({\sin ^2}x + {\sin ^2}3x = 2{\sin ^2}2x\)có số nghiệm thuộc \(\left[ {0;4\pi } \right]\) mà

Câu hỏi số 290120:

Vận dụng

Phương trình \({\sin ^2}x + {\sin ^2}3x = 2{\sin ^2}2x\)có số nghiệm thuộc \(\left[ {0;4\pi } \right]\) mà \(\sin x > 0;\,\,\cos x > 0\) là?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:290120

Phương pháp giải

+) Dùng công thức hạ bậc để giải phương trình.

+) Khi \(x \in \left[ {0;\;2\pi } \right]\) và \(\sin x > 0,\;\;\cos x > 0 \Rightarrow x \in \left( {0;\;\frac{\pi }{2}} \right).\)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;{\sin ^2}x + {\sin ^2}3x = 2{\sin ^2}2x\\ \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 2x}}{2} + \frac{{1 - \cos 6x}}{2} = 2 \cdot \frac{{1 - \cos 4x}}{2}\\ \Leftrightarrow \cos 2x + \cos 6x = 2\cos 4x \Leftrightarrow \cos 4x.\cos 2x = \cos 4x\\ \Leftrightarrow \cos 4x\left( {\cos 2x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 4x = 0\\\cos 2x = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\2x = m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4}\\x = m\pi \end{array} \right.\left( {k,\;m \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Với \(\sin x > 0;\,\,\cos x > 0,\;\,x \in \left[ {0;4\pi } \right]\;\) thì \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \cup \left( {2\pi ;\frac{{5\pi }}{2}} \right)\). Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}0 < \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4} < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < k < \frac{3}{8} \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;\;1} \right\}\\2\pi < \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4} < \frac{{5\pi }}{2} \Leftrightarrow \frac{{15}}{2} < k < \frac{{19}}{2} \Leftrightarrow k \in \left\{ {8;\;9} \right\}\\0 < m\pi < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow 0 < m < \frac{1}{2} \Leftrightarrow m \in \emptyset \\2\pi < m\pi < \frac{{5\pi }}{2} \Leftrightarrow 2 < m < \frac{5}{2} \Leftrightarrow m \in \emptyset \end{array}\)

Vậy phương trình có 4 nghiệm thõa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.