Phương trình \(\sin x + \sin 3x + \sin 5x = \cos x + \cos 3x + \cos 5x\)có số nghiệm dương bé hơn \(\pi \)

Câu hỏi số 290121:

Vận dụng

Phương trình \(\sin x + \sin 3x + \sin 5x = \cos x + \cos 3x + \cos 5x\)có số nghiệm dương bé hơn \(\pi \) thõa mãn \(\tan x > 0\) là?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:290121

Phương pháp giải

+) Nhóm nhân tử sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích và đặt nhân tử chung

\(\begin{array}{l}\,\;\;\;\;\,\sin x + \sin 3x + \sin 5x = \cos x + \cos 3x + \cos 5x\\ \Leftrightarrow \sin 3x + \left( {\sin x + \sin 5x} \right) = \cos 3x + \left( {\cos x + \cos 5x} \right)\\ \Leftrightarrow \sin 3x + 2\sin 3x\cos 2x = \cos 3x + 2\cos 3x\cos 2x\end{array}\)

+) Xác định trên miên cần tìm các giá trị để \(\tan x > 0\)

\(x \in \left( {0;\pi } \right),\,\tan x > 0 \Leftrightarrow x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sin x + \sin 3x + \sin 5x = \cos x + \cos 3x + \cos 5x\\ \Leftrightarrow \sin 3x + \left( {\sin x + \sin 5x} \right) = \cos 3x + \left( {\cos x + \cos 5x} \right)\\ \Leftrightarrow \sin 3x + 2\sin 3x\cos 2x = \cos 3x + 2\cos 3x\cos 2x\\ \Leftrightarrow \sin 3x\left( {1 + 2\cos 2x} \right) = \cos 3x\left( {1 + 2\cos 2x} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 3x = \cos 3x\\\cos 2x = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan 3x = 1\\2x = \frac{{2\pi }}{3} + m2\pi \\2x = - \frac{{2\pi }}{3} + l2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{3} + m\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + l\pi \end{array} \right.\left( {k,\;m,\;l \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Với \(x \in \left( {0;\pi } \right),\,\tan x > 0 \Leftrightarrow x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\), xét:

\(\begin{array}{l}0 < \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{3} < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{4} < k < \frac{5}{4} \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;\;1} \right\}\\0 < \frac{\pi }{3} + m\pi < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{3} < m < \frac{1}{6} \Leftrightarrow m = 0\\0 < - \frac{\pi }{3} + l\pi < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \frac{1}{3} < l < \frac{5}{6} \Leftrightarrow l \in \emptyset \end{array}\)

Phương trình có 3 nghiệm thõa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.