Phương trình \({\sin ^6}\left( {x + 3\pi } \right) + {\cos ^6}\left( {x + 5\pi } \right) = {\cos ^2}2x - \sin

Câu hỏi số 293270:

Vận dụng

Phương trình \({\sin ^6}\left( {x + 3\pi } \right) + {\cos ^6}\left( {x + 5\pi } \right) = {\cos ^2}2x - \sin x\cos x\) có bao nhiêu nghiệm thuộc \(\left( {0;2\pi } \right)\)

A. 6

B. 5

C. 4

D. 3

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:293270

Phương pháp giải

+) Sử dụng công thức: \(\sin \left( {x + 3\pi } \right) = - \sin x;\;\;\cos \left( {x + 5\pi } \right) = - \cos x.\)

+) Rút gọn các công thức:

\(\begin{array}{l}\;\;\;{\sin ^6}\left( {x + 3\pi } \right) + {\cos ^6}\left( {x + 5\pi } \right) = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x\\ = \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\sin }^2}x{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x} \right)\\ = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x - {\sin ^2}x{\cos ^2}x.\\{\cos ^2}2x = {({\cos ^2}x - {\sin ^2}x)^2} = {\cos ^4}x + {\sin ^4}x - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x.\end{array}\)

Giải chi tiết

Ta có:

Và biến đổi : \({\cos ^2}2x = {({\cos ^2}x - {\sin ^2}x)^2} = {\cos ^4}x + {\sin ^4}x - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\)

\(\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow {\sin ^4}x + {\cos ^4}x - {\sin ^2}x.{\cos ^2}x = {\cos ^4}x + {\sin ^4}x - 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x - \sin x.\cos x\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x{\cos ^2}x + \sin x\cos x = 0\\ \Leftrightarrow \sin x\cos x\left( {\sin x.cosx + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sin 2x\left( {\sin 2x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\\\sin 2x = - 2\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Phương trình có nghiệm \(x \in \left( {0;\;2\pi } \right) \Leftrightarrow 0 < \frac{{k\pi }}{2} < 2\pi \Leftrightarrow k \in \left\{ {1;\;2;\;3} \right\}.\)

Phương trình có 3 nghiệm thõa mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.