Giải phương trình \(\cos \frac{{4x}}{3} = {\cos ^2}x\).

Câu hỏi số 293890:

Vận dụng

A. \(\left[ \begin{array}{l}x = k3\pi \\x = \pm \frac{\pi }{4} + m3\pi \\x = \pm \frac{{5\pi }}{4} + l3\pi \end{array} \right.\;\;\left( {k,\;m,\;l \in Z} \right)\)

B. \(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \pm \frac{\pi }{4} + m\pi \\x = \pm \frac{{5\pi }}{4} + l\pi \end{array} \right.\;\;\left( {k,\;m,\;l \in Z} \right)\)

C. \(\left[ \begin{array}{l}x = k3\pi \\x = \frac{\pi }{4} + m3\pi \\x = - \frac{\pi }{4} + l3\pi \end{array} \right.\;\;\left( {k,\;m,\;l \in Z} \right)\)

D. \(\left[ \begin{array}{l}x = k3\pi \\x = \frac{{5\pi }}{4} + m3\pi \\x = - \frac{{5\pi }}{4} + l3\pi \end{array} \right.\;\left( {k,\;m,\;l \in Z} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:293890

Phương pháp giải

+) Công thức hạ bậc 2 và bậc 3 : \(\left\{ \begin{array}{l}\cos 3x = 4{\cos ^3}x - 3\cos x\\\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\end{array} \right.\)

+) Quy về phương trình bậc ba 1 ẩn.

+) Giải hàm lượng giác cơ bản : \(\cos x = \cos a \Leftrightarrow x = \pm a + k2\pi \)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;cos\frac{{4x}}{3} = co{s^2}x \Leftrightarrow cos\frac{{4x}}{3} = \frac{{1 + cos2x}}{2} \Leftrightarrow 2cos2.\frac{{2x}}{3} = 1 + cos3.\frac{{2x}}{3}\\ \Leftrightarrow 2\left[ {2co{s^2}\frac{{2x}}{3} - 1} \right] = 1 + 4co{s^3}\frac{{2x}}{3} - 3cos\frac{{2x}}{3}\\ \Leftrightarrow 4co{s^3}\frac{{2x}}{3} - 4co{s^2}\frac{{2x}}{3} - 3cos\frac{{2x}}{3} + 3 = 0\;\;\left( * \right)\end{array}\)

Đặt: \(\cos \frac{{2x}}{3} = t\;\;\left( { - 1 \le t \le 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 4{t^3} - 4{t^2} - 3t + 3 = 0\\ \Leftrightarrow 4{t^2}\left( {t - 1} \right) - 3\left( {t - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {4{t^2} - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {2t - \sqrt 3 } \right)\left( {2t + \sqrt 3 } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 1 = 0\\2t - \sqrt 3 = 0\\2t + \sqrt 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\;\;\left( {tm} \right)\\t = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\;\;\left( {tm} \right)\\t = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}cos\frac{{2x}}{3} = 1\\cos\frac{{2x}}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\cos\frac{{2x}}{3} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{2x}}{3} = k2\pi \\\frac{{2x}}{3} = \pm \frac{\pi }{6} + m2\pi \\\frac{{2x}}{3} = \pm \frac{{5\pi }}{6} + l2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k3\pi \\x = \pm \frac{\pi }{4} + m3\pi \\x = \pm \frac{{5\pi }}{4} + l3\pi \end{array} \right.\;\;\;\left( {k,\;m,\;l \in Z} \right)\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.