Phương trình: \({\sin ^4}x + {\sin ^4}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + {\sin ^4}\left( {x - \frac{\pi }{4}}

Câu hỏi số 293891:

Vận dụng

Phương trình: \({\sin ^4}x + {\sin ^4}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + {\sin ^4}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{5}{4}\) có nghiệm là:

A. \(x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{4}\;\;\left( {k \in Z} \right)\)

B. \(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\;\;\left( {k \in Z} \right)\)

C. \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \;\;\;\left( {k \in Z} \right)\)

D. \(x = \pi + k2\pi \;\;\;\left( {k \in Z} \right)\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:293891

Phương pháp giải

+) Sử dụng công thức: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\sin x + \cos x} \right)\;\\\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\sin x - \cos x} \right)\end{array} \right.;\;\;\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x + 1.\)

+) Xét các trường hợp \(\cos x = 0\) và \(\cos x \ne 0\) để giải phương trình.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}PT \Leftrightarrow {\sin ^4}x + {\left( {\frac{{\sin x + \cos x}}{{\sqrt 2 }}} \right)^4} + {\left( {\frac{{\sin x - \cos x}}{{\sqrt 2 }}} \right)^4} = \frac{5}{4}\\ \Leftrightarrow {\sin ^4}x + \frac{1}{4}{\left( {\sin x + \cos x} \right)^4} + \frac{1}{4}{\left( {\sin x - \cos x} \right)^4} = \frac{5}{4}\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^4}x + {\left( {\sin x + \cos x} \right)^4} + {\left( {\sin x - \cos x} \right)^4} = 5\;\;\;\left( * \right)\end{array}\)

+) Với \(\cos x = 0\) ta có:\(\left( * \right) \Leftrightarrow 4{\sin ^4}x + {\sin ^4}x + {\sin ^4}x = 5 \Leftrightarrow {\sin ^4}x = \frac{5}{6}\;\;\left( {ktm} \right)\)

\( \Rightarrow \cos x = 0\) không là nghiệm của phương trình.

+) Với \(\cos x \ne 0\) ta chia cả hai vế của phương trình \(\left( * \right)\) cho \({\cos ^4}x\) ta được:

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow 4{\tan ^4}x + {\left( {\tan x + 1} \right)^4} + {\left( {\tan x - 1} \right)^4} = \frac{5}{{{{\cos }^4}x}}\\ \Leftrightarrow 4{\tan ^4}x + {\left( {\tan x + 1} \right)^4} + {\left( {\tan x - 1} \right)^4} = 5{\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)^2}\;\;\;\left( 1 \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {\tan x + 1} \right)^4} + {\left( {\tan x - 1} \right)^4} + 2{\left( {\tan x + 1} \right)^2}{\left( {\tan x - 1} \right)^2} + 4{\tan ^4}x - 2{\left( {\tan x + 1} \right)^2}{\left( {\tan x - 1} \right)^2} = 5{\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {\tan x + 1} \right)}^2} + {{\left( {\tan x - 1} \right)}^2}} \right]^2} - 2{\left( {{{\tan }^2}x - 1} \right)^2} + 4{\tan ^4}x = 5\left( {{{\tan }^4}x + 2{{\tan }^2}x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {2{{\tan }^2}x + 2} \right)^2} - 2\left( {{{\tan }^4}x - 2{{\tan }^2}x + 1} \right) + 4{\tan ^4}x - 5{\tan ^4}x - 10{\tan ^2}x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow 4{\tan ^4}x + 8{\tan ^2}x + 4 - 2{\tan ^4}x + 4{\tan ^2}x - 2 - {\tan ^4}x - 10{\tan ^2}x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow {\tan ^4}x + 2{\tan ^2}x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{{\tan }^2}x - 1} \right)\left( {{{\tan }^2}x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\tan ^2}x = 1\\{\tan ^2}x = - 3\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \;\\x = - \frac{\pi }{4} + m\pi \end{array} \right.\; \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\;\left( {k \in Z} \right).\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.