Số nghiệm của phương trình \(\frac{{\sin x\sin 2x + 2\sin x{{\cos }^2}x + \sin x + \cos x}}{{\sin x + \cos x}}

Câu hỏi số 293898:

Vận dụng cao

Số nghiệm của phương trình \(\frac{{\sin x\sin 2x + 2\sin x{{\cos }^2}x + \sin x + \cos x}}{{\sin x + \cos x}} = \sqrt 3 \cos 2x\) trong khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\) là:

A. 2

B. 4

C. 3

D. 1

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:293898

Phương pháp giải

Phân tích tử số thành nhân tử

Rút gọn biểu thức bằng cách chia tử mẫu cho nhân tử chung

Giải chi tiết

Điều kiện \(\sin x + \cos x \ne 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne - \frac{\pi }{4} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\frac{{\sin x\sin 2x + 2\sin x{{\cos }^2}x + \sin x + \cos x}}{{\sin x + \cos x}} = \sqrt 3 \cos 2x\\ \Leftrightarrow \;\frac{{\sin x\sin 2x + \sin 2x\cos x + \sin x + \cos x}}{{\sin x + \cos x}} = \sqrt 3 \cos 2x\\ \Leftrightarrow \frac{{\sin 2x\left( {\sin x + \cos x} \right) + \sin x + \cos x}}{{\sin x + \cos x}} = \sqrt 3 \cos 2x\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {\sin 2x + 1} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{\sin x + \cos x}} = \sqrt 3 \cos 2x\\ \Leftrightarrow \sin 2x - \sqrt 3 \cos 2x = - 1\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 2x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x = - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{3} = \pi + \frac{\pi }{6} + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + m\pi \end{array} \right.\left( {k,\;m \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Thử lại điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm là: \(x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Phương trình có nghiệm \(x \in \left( { - \pi ;\;\pi } \right) \Leftrightarrow - \pi < \frac{\pi }{{12}} + k\pi < \pi \Leftrightarrow - \frac{{13}}{{12}} < k < \frac{{11}}{{12}} \Rightarrow k \in \left\{ { - 1;\;0} \right\}.\)

Vậy trên \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\) phương trình đã cho có các nghiệm là: \(\frac{\pi }{{12}}; - \frac{{11\pi }}{{12}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.