Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{\sin x + \cos x}}{{2\sin x - \cos x +

Câu hỏi số 293897:

Vận dụng

Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{\sin x + \cos x}}{{2\sin x - \cos x + 3}}\) lần lượt là:

A. \(m = - 1;{\rm{ }}M = \frac{1}{2}\)

B. \(m = - 1;{\rm{ }}M = 2\)

C. \(m = - \frac{1}{2};{\rm{ }}M = 1\)

D. \(m = 1;{\rm{ }}M = 2\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:293897

Phương pháp giải

+) Bài toán đưa về dạng \(a\sin x + b\cos x = c\)

+) Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\) là : \(a{}^2 + {b^2} \ge {c^2}\)

Giải chi tiết

Ta có: \(2\sin x - \cos x + 3 \ne 0\) với \(\forall x \in R\).

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;y = \frac{{\sin x + \cos x}}{{2\sin x - \cos x + 3}}\\ \Leftrightarrow y\left( {2\sin x - \cos x + 3} \right) = \sin x + \cos x\\ \Leftrightarrow \left( {2y - 1} \right)\sin x\, - \left( {y + 1} \right)\cos x = - 3y\;\;\;(*)\end{array}\).

Hàm số \(y = \frac{{\sin x + \cos x}}{{2\sin x - \cos x + 3}}\) xác định với \(\forall x \in Z\) nên (*) có nghiệm

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {2y - 1} \right)^2} + {\left( { - y - 1} \right)^2} \ge {\left( { - 3y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4{y^2} - 4y + 1 + {y^2} + 2y + 1 \ge 9{y^2}\\ \Leftrightarrow 4{y^2} + 2y - 2 \le 0\\ \Leftrightarrow - 1 \le y \le \frac{1}{2}\end{array}\).

Nên giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{\sin x + \cos x}}{{2\sin x - \cos x + 3}}\) lần lượt là: \(m = - 1;{\rm{ }}M = \frac{1}{2}.\)

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.