Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc

Câu hỏi số 296057:

Vận dụng

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc 60o. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA. Tính theo a thể tích khối chóp S.DBC

A. \(\dfrac{{5{a^3}}}{{96}}\)

B. \(\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{{96}}\)

C. \(\dfrac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{{96}}\)

D. \(\dfrac{{5{a^3}\sqrt 5 }}{{96}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:296057

Giải chi tiết

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC, I là trung điểm của AB

\( \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right)\,\, \Rightarrow \left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SAO} = 60^\circ \)

\(\Delta ABC\) đều, cạnh a \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OA = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\\{S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\end{array} \right.\)

\(\Delta SAO\) vuông tại O \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SO = OA.\tan 60^\circ = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\sqrt 3 = a\\SA = \dfrac{{OA}}{{\cos 60^\circ }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}}}{{\dfrac{1}{2}}} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\)

Thể tích khối chóp S.ABC là: \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.SO.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

\(\Delta SAB\) cân tại S \( \Rightarrow SI \bot AB\); \(\left( {BCD} \right) \bot SA\,\, \Rightarrow BD \bot SA\)

\(\Delta SAI\) đồng dạng \(\Delta BAD\)

\( \Rightarrow \dfrac{{SA}}{{AB}} = \dfrac{{AI}}{{AD}} \Leftrightarrow \dfrac{{\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}}}{a} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{AD}} \Rightarrow AD = \dfrac{{\dfrac{a}{2}.a}}{{\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{SA}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}}} = \dfrac{3}{8} \Rightarrow \dfrac{{SD}}{{SA}} = \dfrac{5}{8}\)

Ta có: \(\dfrac{{{V_{S.DBC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SD}}{{SA}} = \dfrac{5}{8} \Rightarrow {V_{S.DBC}} = \dfrac{5}{8}.{V_{S.ABC}} = \dfrac{5}{8}.\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}} = \dfrac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{{96}}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.