Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1 - \sqrt {3x + 1} }}{{{x^2} - 3x + 2}}\)

Câu hỏi số 300895:

Vận dụng

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1 - \sqrt {3x + 1} }}{{{x^2} - 3x + 2}}\) là:

A. 2

B. 0

C. 1

D. 3

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:300895

Phương pháp giải

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\).

+) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = {y_0} \Rightarrow y = {y_0}\) là TCN của đồ thị hàm số.

+) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} y = \infty \Rightarrow x = {x_0}\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

Giải chi tiết

TXĐ: \(x \ge - \frac{1}{3};\,\,x \ne 1;\,\,x \ne 2\). Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1 - \sqrt {3x + 1} }}{{{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} - \sqrt {\frac{3}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^4}}}} }}{{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}}} = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 1 - \sqrt {3x + 1} }}{{{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} - \sqrt {\frac{3}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^4}}}} }}{{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}}} = 0\end{array}\)

Do đó đồ thị hàm số có TCN \(y = 0\).

\(\begin{array}{l}y = \frac{{x + 1 - \sqrt {3x + 1} }}{{{x^2} - 3x + 2}} = \frac{{\left( {x + 1 - \sqrt {3x + 1} } \right)\left( {x + 1 + \sqrt {3x + 1} } \right)}}{{\left( {x + 1 + \sqrt {3x + 1} } \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)}} = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - \left( {3x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1 + \sqrt {3x + 1} } \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} - x}}{{\left( {x + 1 + \sqrt {3x + 1} } \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)}} = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1 + \sqrt {3x + 1} } \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{x}{{\left( {x + 1 + \sqrt {3x + 1} } \right)\left( {x - 2} \right)}}\end{array}\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{x}{{\left( {x + 1 + \sqrt {3x + 1} } \right)\left( {x - 2} \right)}} = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{x}{{\left( {x + 1 + \sqrt {3x + 1} } \right)\left( {x - 2} \right)}} = - \infty\end{array}\), do đó đồ thị hàm số có TCĐ .

Xét phương trình

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,x + 1 + \sqrt {3x + 1} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {3x + 1} = - x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x - 1 \ge 0\\3x + 1 = {\left( { - x - 1} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le - 1\\3x + 1 = {x^2} + 2x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le - 1\\{x^2} - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le - 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \emptyset\end{array}\)

Vậy hàm số có 1 TCN \(y = 0\) và 1 TCĐ \(x = 2\).

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.