Tìm tất cả các giá trị nguyên dương nhỏ hơn 5 của tham số m để hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3}

Câu hỏi số 301149:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các giá trị nguyên dương nhỏ hơn 5 của tham số m để hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {2m - 3} \right)x - \dfrac{2}{3}\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).

A. 5

C. 6

D. 4

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:301149

Phương pháp giải

+) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\).

+) Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng \(f\left( x \right) \ge m\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} f\left( x \right)\).

Giải chi tiết

Ta có \(y' = {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 3\).

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 3 \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2m\left( {x + 1} \right) - 2x - 3 \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 \ge - 2m\left( {x + 1} \right)\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\end{array}\)

Do \(x \in \left( {1; + \infty } \right) \Rightarrow x + 1 > 0 \Leftrightarrow - 2m \le \dfrac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x + 1}} = f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow - 2m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} f\left( x \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x + 1}}\) trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\) ta có:

\(f'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {2x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) - {x^2} + 2x + 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 1 > 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = - 2 \Leftrightarrow - 2m \le - 2 \Leftrightarrow m \ge 1\).

Kết hợp điều kiện đề bài \(m \in Z,\,\,m < 5 \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.