Xác định m để phương trình \({x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + 2m + 1 = 0\) (1) có bốn nghiệm

Câu hỏi số 301188:

Vận dụng cao

Xác định m để phương trình \({x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + 2m + 1 = 0\) (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

A. \(m = 2\) hoặc \(m = - \frac{4}{9}\)

B. \(m = 4\) hoặc \(m = - \frac{4}{9}\)

C. \(m = 4\) hoặc \(m = - 2\)

D. \(m = 3\) hoặc \(m = - 1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:301188

Phương pháp giải

Đặt \(t = {x^2},t \ge 0\).

Biện luận nghiệm để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt.

Biện luận để bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng bằng cách sử dụng tính chất của cấp số cộng: \(a,\,b,\,c\) là một cấp số cộng \( \Rightarrow b = \frac{{a + c}}{2} \Leftrightarrow a + c = 2b\). Từ đó suy ra m.

Giải chi tiết

Đặt \(t = {x^2},t \ge 0\).

Phương trình đã cho trở thành: \({t^2} - 2\left( {m + 1} \right)t + 2m + 1 = 0\;\;\;\left( 2 \right)\)

Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt \({t_2} > {t_1} > 0\).

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta ' > 0}\\{P > 0}\\{S > 0}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {m + 1} \right)}^2} - \left( {2m + 1} \right) > 0}\\{2m + 1 > 0}\\{2\left( {m + 1} \right) > 0}\end{array} \Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l}{m^2} > 0\\m > - \frac{1}{2}\\m > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow } \right. - \frac{1}{2} < m \ne 0\)

Khi đó phương trình (1) có bốn nghiệm là: \({x_4} = - \sqrt {{t_2}} ;\;{x_3} = - \sqrt {{t_1}} ;\;\;{x_2} = \sqrt {{t_1}} ;\;\;{x_2} = \sqrt {{t_2}} \)

Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \sqrt {{t_2}} + \sqrt {{t_1}} = - 2\sqrt {{t_1}} }\\{ - \sqrt {{t_1}} + \sqrt {{t_2}} = 2\sqrt {{t_1}} }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \sqrt {{t_2}} = 3\sqrt {{t_1}} \Leftrightarrow {t_2} = 9{t_1}\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có :

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} + {t_2} = 2\left( {m + 1} \right)}\\{{t_1}{t_2} = 2m + 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} + 9{t_1} = 2\left( {m + 1} \right)}\\{{t_1}9{t_1} = 2m + 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{t_1} = m + 1\\9t_1^2 = 2m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = \frac{{m + 1}}{5}\\9.\frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{25}} = 2m + 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow 9{m^2} + 18m + 9 = 50m + 25 \Leftrightarrow 9{m^2} - 32m - 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 4\;\;\left( {tm} \right)}\\{m = - \frac{4}{9}\;\;\;\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\end{array}\) .

Vậy \(m = 4\) hoặc \(m = - \frac{4}{9}\) là những giá trị cần tìm.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.