Xác định m để phương trình \({x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + 2m + 1 = 0\) (1) có bốn nghiệm

Câu hỏi số 301188:

Vận dụng cao

Xác định m để phương trình \({x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + 2m + 1 = 0\) (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

A. \(m = 2\) hoặc \(m = - \frac{4}{9}\)

B. \(m = 4\) hoặc \(m = - \frac{4}{9}\)

C. \(m = 4\) hoặc \(m = - 2\)

D. \(m = 3\) hoặc \(m = - 1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:301188

Phương pháp giải

Đặt \(t = {x^2},t \ge 0\).

Biện luận nghiệm để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt.

Biện luận để bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng bằng cách sử dụng tính chất của cấp số cộng: \(a,\,b,\,c\) là một cấp số cộng \( \Rightarrow b = \frac{{a + c}}{2} \Leftrightarrow a + c = 2b\). Từ đó suy ra m.

Giải chi tiết

Đặt \(t = {x^2},t \ge 0\).

Phương trình đã cho trở thành: \({t^2} - 2\left( {m + 1} \right)t + 2m + 1 = 0\;\;\;\left( 2 \right)\)

Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt \({t_2} > {t_1} > 0\).

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta ' > 0}\\{P > 0}\\{S > 0}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {m + 1} \right)}^2} - \left( {2m + 1} \right) > 0}\\{2m + 1 > 0}\\{2\left( {m + 1} \right) > 0}\end{array} \Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l}{m^2} > 0\\m > - \frac{1}{2}\\m > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow } \right. - \frac{1}{2} < m \ne 0\)

Khi đó phương trình (1) có bốn nghiệm là: \({x_4} = - \sqrt {{t_2}} ;\;{x_3} = - \sqrt {{t_1}} ;\;\;{x_2} = \sqrt {{t_1}} ;\;\;{x_2} = \sqrt {{t_2}} \)

Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \sqrt {{t_2}} + \sqrt {{t_1}} = - 2\sqrt {{t_1}} }\\{ - \sqrt {{t_1}} + \sqrt {{t_2}} = 2\sqrt {{t_1}} }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \sqrt {{t_2}} = 3\sqrt {{t_1}} \Leftrightarrow {t_2} = 9{t_1}\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có :

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} + {t_2} = 2\left( {m + 1} \right)}\\{{t_1}{t_2} = 2m + 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} + 9{t_1} = 2\left( {m + 1} \right)}\\{{t_1}9{t_1} = 2m + 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{t_1} = m + 1\\9t_1^2 = 2m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = \frac{{m + 1}}{5}\\9.\frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{25}} = 2m + 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow 9{m^2} + 18m + 9 = 50m + 25 \Leftrightarrow 9{m^2} - 32m - 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 4\;\;\left( {tm} \right)}\\{m = - \frac{4}{9}\;\;\;\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\end{array}\) .

Vậy \(m = 4\) hoặc \(m = - \frac{4}{9}\) là những giá trị cần tìm.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.