Xác định m để phương trình \({x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + 2m + 1 = 0\) (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Câu 301188: Xác định m để phương trình \({x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + 2m + 1 = 0\) (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

A. \(m = 2\) hoặc \(m = - \frac{4}{9}\)

B. \(m = 4\) hoặc \(m = - \frac{4}{9}\)

C. \(m = 4\) hoặc \(m = - 2\)

D. \(m = 3\) hoặc \(m = - 1\)

Câu hỏi : 301188

Phương pháp giải:

Đặt \(t = {x^2},t \ge 0\).

Biện luận nghiệm để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt.

Biện luận để bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng bằng cách sử dụng tính chất của cấp số cộng: \(a,\,b,\,c\) là một cấp số cộng \( \Rightarrow b = \frac{{a + c}}{2} \Leftrightarrow a + c = 2b\). Từ đó suy ra m.

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \(t = {x^2},t \ge 0\).

Phương trình đã cho trở thành: \({t^2} - 2\left( {m + 1} \right)t + 2m + 1 = 0\;\;\;\left( 2 \right)\)

Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt \({t_2} > {t_1} > 0\).

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta ' > 0}\\{P > 0}\\{S > 0}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {m + 1} \right)}^2} - \left( {2m + 1} \right) > 0}\\{2m + 1 > 0}\\{2\left( {m + 1} \right) > 0}\end{array} \Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l}{m^2} > 0\\m > - \frac{1}{2}\\m > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow } \right. - \frac{1}{2} < m \ne 0\)

Khi đó phương trình (1) có bốn nghiệm là: \({x_4} = - \sqrt {{t_2}} ;\;{x_3} = - \sqrt {{t_1}} ;\;\;{x_2} = \sqrt {{t_1}} ;\;\;{x_2} = \sqrt {{t_2}} \)

Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \sqrt {{t_2}} + \sqrt {{t_1}} = - 2\sqrt {{t_1}} }\\{ - \sqrt {{t_1}} + \sqrt {{t_2}} = 2\sqrt {{t_1}} }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \sqrt {{t_2}} = 3\sqrt {{t_1}} \Leftrightarrow {t_2} = 9{t_1}\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có :

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} + {t_2} = 2\left( {m + 1} \right)}\\{{t_1}{t_2} = 2m + 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} + 9{t_1} = 2\left( {m + 1} \right)}\\{{t_1}9{t_1} = 2m + 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{t_1} = m + 1\\9t_1^2 = 2m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = \frac{{m + 1}}{5}\\9.\frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{25}} = 2m + 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow 9{m^2} + 18m + 9 = 50m + 25 \Leftrightarrow 9{m^2} - 32m - 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 4\;\;\left( {tm} \right)}\\{m = - \frac{4}{9}\;\;\;\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\end{array}\) .

Vậy \(m = 4\) hoặc \(m = - \frac{4}{9}\) là những giá trị cần tìm.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.