Cho đường tròn \(\left( {O;\;R} \right)\) cố định. Từ điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O

Câu hỏi số 301485:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( {O;\;R} \right)\) cố định. Từ điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) kẻ hai tiếp tuyến \(MA,\;MB\;\;(A,\;B\) là các tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(OM\) và \(AB.\)

a) Chứng minh \(OM \bot AB\) và \(OH.OM = {R^2}.\)

b) Từ \(M\) kẻ cát tuyến \(MNP\) với đường tròn \((N\) nằm giữa \(M\) và \(P),\) gọi \(I\) là trung điểm của \(NP\;\;\left( {I \ne O} \right).\) Chứng minh 4 điểm \(A,\;M,\;O,\;I\) cùng thuộc một đường tròn và tìm tâm của đường tròn đó.

c) Quan \(N\) kẻ tiếp tuyến với đường tròn \(\left( O \right),\;\) cắt \(MA\) và \(MB\) theo thứ tự ở \(C\) và \(D.\) Biết \(MA = 5cm.\) Tính chu vi tam giác \(MCD.\)

d) Qua \(O\) kẻ đường thẳng \(d\) vuông góc với \(OM,\) cắt tia \(MA\) và \(MB\) lần lượt tại \(E\) và \(F.\) Xác định vị trí của \(M\) để diện tích tam giác \(MEF\) nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:301485

Phương pháp giải

a) Sử dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau và hệ thức lượng trong tam giác vuông.

b) Sử dụng định lý: \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) thì ba điểm \(A,\;B,\;C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC.\)

c) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và công thức tính chu vi \(\Delta ABC\) bằng \(AB + BC + CA.\)

d) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác và bất đẳng thức Cô-si.

Giải chi tiết

a) Ta có: \(OA = OB = R \Rightarrow \Delta OAB\) là tam giác cân tại \(O.\)

Xét \(\left( {O;\;R} \right)\) ta có: hai tiếp tuyến \(MA,\;MB\) cắt nhau tại \(M\)

\( \Rightarrow OM\) là tia phân giác của \(\angle AOB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow OM\) vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của \(\Delta AOB\) (tính chất tam giác cân)

\( \Rightarrow OM \bot AB = \left\{ H \right\}\;\;\left( {dpcm} \right).\)

Vì \(MA\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(A \Rightarrow OA \bot AM = \left\{ A \right\}\) (tính chất tiếp tuyến)

\( \Rightarrow \Delta OMA\) vuông tại \(A\)

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta OMA\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\(OH.OM = O{A^2} = {R^2}\;\;\left( {dpcm} \right).\)

b) Xét \(\left( O \right)\) có: \(I\) là trung điểm của \(PN\;\;\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow OI \bot NP = \left\{ I \right\}\) (quan hệ đường vuông góc với dây cung)

Hay \(OI \bot MI = \left\{ I \right\}.\)

\( \Rightarrow \Delta MOI\) là tam giác vuông tại \(I.\)

\( \Rightarrow M,\;O,\;I\) thuộc đường tròn đường kính \(OM.\) (1)

Ta có: \(\Delta MOA\) vuông tại \(A\;\;\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow M,\;O,\;A\) thuộc đường tròn đường kính \(OM.\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(M,\;O,\;A,\;I\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OM.\) (đpcm)

c) Xét \(\left( O \right)\) ta có:

Hai tiếp tuyến \(CD,\;MA\) cắt nhau tại \(C \Rightarrow CA = CN\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Hai tiếp tuyến \(CD,\;MB\) cắt nhau tại \(D \Rightarrow DN = DB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Hai tiếp tuyến \(MA,\;MB\) cắt nhau tại \(M \Rightarrow MA = MB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có chu vi \(\Delta MCD\) là:

\(\begin{array}{l}{C_{\Delta MCD}} = MC + CD + DM = MC + CN + DM\\ = MC + CA + BD + DM\;\;\left( {CA = CN,\;\;DN = DB\;\;cmt} \right)\\ = MA + MB = MA + MA\;\;\;\left( {MA = MB\;\;cmt} \right)\\ = 2.MA = 2.5 = 10\;\left( {cm} \right).\end{array}\)

d) Ta có: \({S_{MEF}} = {S_{MOE}} + {S_{MOF}} = \frac{1}{2}AO.ME + \frac{1}{2}BO.MF = \frac{1}{2}.R\left( {ME + MF} \right).\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương ta được:

\(\begin{array}{l}ME = MA + AE \ge 2\sqrt {MA.AE} = 2\sqrt {O{A^2}} = 2R\\MF = MB + BF \ge 2\sqrt {MB.BF} = 2\sqrt {O{B^2}} = 2R\\ \Rightarrow {S_{MEF}} = \frac{1}{2}R.\left( {ME + MF} \right) \ge \frac{1}{2}R.\left( {2R + 2R} \right) = 2{R^2}.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}MA = AE\\MB = BF\end{array} \right. \Leftrightarrow \Delta OEM,\;\;\Delta OFM\) là các tam giác vuông cân tại \(O.\)

\( \Leftrightarrow \Delta OMB,\;\;\Delta OMA\) vuông cân tại \(O \Leftrightarrow OA = AM = R \Leftrightarrow OM = R\sqrt 2 .\)

Vậy khi \(OM = R\sqrt 2 \) thì \({S_{\Delta MEF}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link