Cho một mảnh giấy hình vuông \(ABCD\) cạnh \(6cm.\) Gọi \(E,\;F\) lần lượ là hai điểm nằm trên
Cho một mảnh giấy hình vuông \(ABCD\) cạnh \(6cm.\) Gọi \(E,\;F\) lần lượ là hai điểm nằm trên cạnh \(AB\) và \(BC\) sao cho \(AE = 2cm,\;BF = 3cm.\) Bạn Nam muốn cắt một hình thang \(EFGH\) (như hình vẽ) sao cho hình thang đó có diện tích nhỏ nhất. Xác định vị trí của \(H\) trên cạnh \(AD,\) để bạn Nam có thể thực hiện mong muốn của mình?
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Đặt \(AH = x,\;\;CG = y\;\;\left( {0 < x,\;y < 6} \right).\)
Sử dụng các công thức tính diện tích tam giác.
Chứng minh \(\Delta AEH \sim \Delta CGF\;\;\left( {g - g} \right)\) sau đó suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si.
Đặt \(AH = x,\;\;CG = y\;\;\left( {0 < x,\;y < 6} \right).\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{ABCD}} = {S_{EFGH}} + {S_{AHE}} + {S_{BFE}} + {S_{FCG}} + {S_{HDG}} = 36\\ \Leftrightarrow {S_{EFGH}} = 36 - \left( {{S_{AHE}} + {S_{BFE}} + {S_{FCG}} + {S_{HDG}}} \right)\\ \Leftrightarrow {S_{EFGH}} = 36 - \frac{1}{2}\left( {AE.AH + BE.BF + FC.CG + DH.DG} \right)\\ \Leftrightarrow {S_{EFGH}} = 36 - \frac{1}{2}\left[ {2x + 4.3 + 3y + \left( {6 - y} \right)\left( {6 - x} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow {S_{EFGH}} = 30 - \frac{1}{2}\left[ {2x + 3y + \left( {6 - y} \right)\left( {6 - x} \right)} \right]\end{array}\)
Đặt \(S = \frac{1}{2}\left[ {2x + \left( {6 - y} \right)\left( {6 - x} \right)} \right]\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2S = 2x + 3y + \left( {6 - x} \right)\left( {6 - y} \right)\\ \Leftrightarrow 2S = xy - 4x - 3y + 36\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)\end{array}\)
Xét \(\Delta AEH\) và \(\Delta CGF\) ta có:
\(\begin{array}{l}\angle HEA = \angle GCF = {90^0}\\\angle AEH = \angle CGF\;\;\;\\ \Rightarrow \Delta AEH \sim \Delta CGF\;\;\left( {g - g} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \frac{{AE}}{{CG}} = \frac{{AH}}{{CF}}\) (các cặp cạnh tương tứng tỉ lệ)
\( \Rightarrow \frac{2}{y} = \frac{x}{3} \Leftrightarrow xy = 6.\;\;\;\left( 2 \right)\)
Thay \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được: \(2S = 6 - 4x - 3.\frac{6}{x} + 36 \Leftrightarrow 2S = 42 - \left( {4x + \frac{{18}}{x}} \right).\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương ta được:
\(\begin{array}{l}\;\;\;\;4x + \frac{{18}}{x} \ge 2\sqrt {4x.\frac{{18}}{x}} = 12\sqrt 2 \\ \Rightarrow 2S = 42 - \left( {4x + \frac{{18}}{x}} \right) \le 42 - 12\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow S \le 21 - 6\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {S_{EFGH}} \ge 30 - 21 + 6\sqrt 2 = 9 + 6\sqrt 2 .\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 4x = \frac{{18}}{x} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow x = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\;\;\left( {tm} \right).\)
Vậy \(AH = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\) thì hình thang \(EFGH\) có diện tích nhỏ nhất.
Đáp án cần chọn là: A
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
