Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm

Câu hỏi số 302682:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

A. \(V = \dfrac{{5\sqrt {15} \pi }}{{54}}\).

B. \(V = \dfrac{{5\sqrt {15} \pi }}{{18}}\).

C. \(V = \dfrac{{5\pi }}{3}\).

D. \(V = \dfrac{{4\sqrt 3 \pi }}{{27}}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:302682

Phương pháp giải

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot \left( Q \right)\\\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\\a \subset \left( P \right)\\a \bot d\end{array} \right.\,\, \Rightarrow a \bot \left( Q \right)\)

Giải chi tiết

Gọi I là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác SAB.

Tam giác SAB đều \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SI \bot AB\\SG = \dfrac{2}{3}SI = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\\SI \subset \left( {SAB} \right)\\SI \bot AB\end{array} \right.\,\, \Rightarrow SI \bot \left( {ABC} \right)\)

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC. Dựng điểm O sao cho \(\left\{ \begin{array}{l}OH//SI\\GO//IC\end{array} \right.\)

Khi đó, O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Ta có: SAB, ABC là hai tam giác đều có chung cạnh AB, I là trung điểm của AB \( \Rightarrow SI = CI\)

\(IG = \dfrac{1}{3}SI,\,IH = \dfrac{1}{3}IC \Rightarrow IG = IH \Rightarrow IGOH\) là hình vuông \( \Rightarrow OG = IG = \dfrac{1}{3}SI = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

Tam giác SGO vuông tại G \( \Rightarrow SO = \sqrt {S{G^2} + G{O^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{3} + \dfrac{{{a^2}}}{{12}}} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{6} \Rightarrow R = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}\)

Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho là: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi {\left( {\dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}} \right)^3} = \dfrac{{5{a^3}\sqrt {15} }}{{54}}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.