Cho cấp số nhân \(({u_n})\) có các số hạng khác không, tìm \({u_1}\) biết: \(\left\{

Câu hỏi số 303442:

Vận dụng cao

Cho cấp số nhân \(({u_n})\) có các số hạng khác không, tìm \({u_1}\) biết: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} = 15}\\{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = 85}\end{array}} \right.\)

A. \({u_1} = 1;\;{u_1} = 2\)

B. \({u_1} = 1;\;{u_1} = 8\)

C. \({u_1} = 1;\;{u_1} = 5\)

D. \({u_1} = 1;\;{u_1} = 9\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:303442

Phương pháp giải

Đưa dữ kiện đề bài về hết \({u_1}\) và \(q\) để giải tìm chúng.

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội q \( \Rightarrow {u_k} = {u_1}.{q^{k - 1}}\)

Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \({S_n}\)được xác định bởi công thức : \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = {u_1}\frac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}} = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)

Giải chi tiết

Ta có: \(Hpt \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}(1 + q + {q^2} + {q^3}) = 15\\u_1^2\left( {1 + {q^2} + {q^4} + {q^6}} \right) = 85\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\frac{{{q^4} - 1}}{{q - 1}} = 15\\u_1^2\frac{{{q^8} - 1}}{{{q^2} - 1}} = 85\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {\frac{{{q^4} - 1}}{{q - 1}}} \right)^2}\left( {\frac{{{q^2} - 1}}{{{q^8} - 1}}} \right) = \frac{{45}}{{17}} \Leftrightarrow \frac{{({q^4} - 1)(q + 1)}}{{(q - 1)({q^4} + 1)}} = \frac{{45}}{{17}} \Leftrightarrow 28{q^5} - 62{q^4} + 62q - 28 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {q - 1} \right)\left( {q - 2} \right)\left( {2q - 1} \right)\left( {14{q^2} + 18q + 14} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 2\\q = \frac{1}{2}\end{array} \right.\,\,\,\,\;\;\left( {q \ne 1} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{15.\left( {2 - 1} \right)}}{{{2^4} - 1}} = 1\\{u_1} = \frac{{15.\left( {\frac{1}{2} - 1} \right)}}{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^4} - 1}} = 8\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy \({u_1} = 1;\;\;{u_1} = 8.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.