Cho hình lăng trụ đứng\(ABC.A'B'C'\) có cạnh bên \(AA' = a\sqrt 2 \). Biết đáy \(ABC\) là tam giác
Cho hình lăng trụ đứng\(ABC.A'B'C'\) có cạnh bên \(AA' = a\sqrt 2 \). Biết đáy \(ABC\) là tam giác vuông có \(BA = BC = a\), gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AM\) và \(B'C\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Lấy \(N\) là trung điểm của \(BB'\) , ta xác định mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với \(B'C\)
Sử dụng \(d\left( {AM;B'C} \right) = d\left( {B'C;\left( P \right)} \right) = d\left( {B';\left( P \right)} \right) = d\left( {B;\left( P \right)} \right) = BK\) với \(BK \bot \left( P \right)\)
Để xác định được điểm \(K\) ta xác định một mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(B\) mà \(\left( Q \right) \bot \left( P \right)\)
Xác định giao tuyến \(d\) của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\). Trong \(\left( Q \right)\) kẻ \(BK \bot d\) tại \(K \Rightarrow BK \bot \left( P \right)\) tại \(K.\)
Tính \(BK\) dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông
Lấy \(N\) là trung điểm của \(BB' \Rightarrow MN//B'C\) (do \(MN\) là đường trng bình tam giác \(BB'C\) )
Mà \(MN \subset \left( {AMN} \right)\) suy ra \(B'C//\left( {AMN} \right)\)
Từ đó \(d\left( {AM;B'C} \right) = d\left( {B'C;\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {B';\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {AMN} \right)} \right)\)
Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(BH \bot AM\) tại \(H\)
Lại có \(AM \bot BN\left( {do\,BN \bot \left( {ABC} \right)} \right)\) nên \(AM \bot \left( {BHN} \right)\) suy ra \(\left( {AMN} \right) \bot \left( {BHN} \right)\)
Ta kẻ \(BK \bot HN\) tại \(K\) , khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {AMN} \right) \bot \left( {BHN} \right)\\\left( {AMN} \right) \cap \left( {BHN} \right) = HN\\BK \bot HN\end{array} \right. \Rightarrow BK \bot \left( {AMN} \right)\) tại \(K.\)
Hay \(d\left( {AM;B'C} \right) = d\left( {B;\left( {AMN} \right)} \right) = BK\)
+ Tam giác \(ABM\) vuông tại \(B\) có \(BH\) là đường cao nên \(\dfrac{1}{{B{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{B{M^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{a^2}}} = \dfrac{5}{{{a^2}}} \to BH = \dfrac{a}{{\sqrt 5 }}\)
+ Ta có \(BB' = AA' = a\sqrt 2 \Rightarrow BN = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
+ Tam giác \(BHN\) vuông tại \(B\) có \(BK\) là đường cao nên \(\dfrac{1}{{B{K^2}}} = \dfrac{1}{{B{H^2}}} + \dfrac{1}{{B{N^2}}} = \dfrac{5}{{{a^2}}} + \dfrac{2}{{{a^2}}} = \dfrac{7}{{{a^2}}} \Rightarrow BK = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{7}\)
Vậy \(d\left( {AM;B'C} \right) = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{7}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
