Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực \(m\) thuộc khoảng \(\left( { - 1000;1000} \right)\) để

Câu hỏi số 304362:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực \(m\) thuộc khoảng \(\left( { - 1000;1000} \right)\) để hàm số \(y = 2{x^3} - 3\left( {2m + 1} \right){x^2} + 6m\left( {m + 1} \right)x + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)?

A. \(999.\)

B. \(1001.\)

C. \(1998.\)

D. \(1000.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:304362

Phương pháp giải

- Tính \(y'\).

- Tìm \(m\) để \(y' \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

Giải chi tiết

Ta có \(y' = 6{x^2} - 6\left( {2m + 1} \right)x + 6m\left( {m + 1} \right) = 6.\left[ {{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + m\left( {m + 1} \right)} \right]\).

Xét phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + m\left( {m + 1} \right) = 0\) có \(\Delta = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 4m\left( {m + 1} \right) = 1 > 0,{\rm{ }}\forall m \in \mathbb{R}.\)

Suy ra phương trình \(y' = 0\) luôn có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{2m + 1 - 1}}{2} = m;{x_2} = \frac{{2m + 1 + 1}}{2} = m + 1\)

Dễ thấy \({x_1} = m < m + 1 = {x_2}\) và \(a = 1 > 0\) trong khoảng \(\left( {m + 1; + \infty } \right)\) và \(\left( { - \infty ;m} \right)\) thì hàm số đồng biến.

Bài toán thỏa \( \Leftrightarrow m + 1 \le 2 \Leftrightarrow m \le 1\)

Do \(m \in \mathbb{Z}\) và \(m \in \left( { - 1000;1000} \right)\) nên \(m \in \left\{ { - 999; - 998;...;0;1} \right\}\).

Vậy có \(\left[ {1 - \left( { - 999} \right)} \right]:1 + 1 = 1001\) giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Chú ý khi giải

Cách khác: Tìm \(m\) để \(y' \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

Theo định lí Viet, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 1\\{x_1}{x_2} = m\left( {m + 1} \right)\end{array} \right..\)

Hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow \) phương trình \({y^/} = 0\) có hai nghiệm \({x_1} < {x_2} \le 2\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{x_1} - 2} \right) + \left( {{x_2} - 2} \right) < 0\\\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} < 4\\{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 1 < 4\\m\left( {m + 1} \right) - 2\left( {2m + 1} \right) + 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 1\) \( \Rightarrow m = \left\{ { - 999; - 998;...;1} \right\}.\)

Vậy có \(1001\) số nguyên \(m\) thuộc khoảng \(\left( { - 1000;1000} \right).\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.