Tính tổng sau: \(S = \frac{1}{2}C_n^0 - \frac{1}{4}C_n^1 + \frac{1}{6}C_n^3 - \frac{1}{8}C_n^4 + ... + \frac{{{{( -

Câu hỏi số 304485:

Vận dụng

Tính tổng sau: \(S = \frac{1}{2}C_n^0 - \frac{1}{4}C_n^1 + \frac{1}{6}C_n^3 - \frac{1}{8}C_n^4 + ... + \frac{{{{( - 1)}^n}}}{{2(n + 1)}}C_n^n\)

A. \(\frac{1}{{2(n + 1)}}\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \(\frac{1}{{(n + 1)}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:304485

Phương pháp giải

Nhận xét: công thức tổng quát của tổng S là : \(\frac{1}{2}\frac{{{{( - 1)}^k}}}{{k + 1}}C_n^k\)

Vì k thay đổi nên để tính tổng theo nhị thức Newton ta biến đổi \(\frac{1}{2}\frac{{{{( - 1)}^k}}}{{k + 1}}C_n^k\) bằng cách sử dụng công thức tổ hợp: \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}.\)

Giải chi tiết

Ta có: \(S = \frac{1}{2}\left( {C_n^0 - \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 - ... + \frac{{{{( - 1)}^n}}}{{n + 1}}C_n^n} \right)\)

Vì \(\frac{{{{( - 1)}^k}}}{{k + 1}}C_n^k = \frac{{{{( - 1)}^k}}}{{k + 1}}\frac{{n!}}{{(n - k)!k!}} = \frac{{{{( - 1)}^k}}}{{(k + 1)!}}\frac{{(n + 1)!}}{{\left[ {(n + 1) - (k + 1)} \right]!(n + 1)}} = \frac{{{{( - 1)}^k}}}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\)

nên: \(S = \frac{1}{{2(n + 1)}}\sum\limits_{k = 0}^n {{{( - 1)}^k}C_{n + 1}^{k + 1}} = \frac{{ - 1}}{{2(n + 1)}}\left( {\sum\limits_{k = 0}^{n + 1} {{{( - 1)}^k}C_{n + 1}^k} - C_{n + 1}^0} \right) = \frac{1}{{2(n + 1)}}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.