Cho hàm số \(y = {x^4} - 2\left( {1 - {m^2}} \right){x^2} + m + 1.\) Tìm tất cả các giá trị thực của

Câu hỏi số 305034:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {x^4} - 2\left( {1 - {m^2}} \right){x^2} + m + 1.\) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích là lớn nhất?

A. \(m = - \frac{1}{2}\)

B. \(m = 0\)

C. \(m = \frac{1}{2}\)

D. \(m = 1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:305034

Phương pháp giải

+) Tìm điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị, xác định 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số.

+) Nhận xét 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành tam giác cân, tính diện tích tam giác và đánh giá, tìm GTLN của diện tích đó.

Giải chi tiết

TXĐ : \(D = \mathbb{R}\). Ta có \(y' = 4{x^3} - 4\left( {1 - {m^2}} \right)x = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} + {m^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 1 - {m^2}\end{array} \right.\)

Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu (tức là có 3 cực trị phân biệt) thì phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow 1 - {m^2} > 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1\).

Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = m + 1 \Rightarrow A\left( {0;m + 1} \right) \in Oy\\x = \sqrt {1 - {m^2}} \Rightarrow y = - {m^4} + 2{m^2} + m \Rightarrow B\left( {\sqrt {1 - {m^2}} ; - {m^4} + 2{m^2} + m} \right)\\x = - \sqrt {1 - {m^2}} \Rightarrow y = - {m^4} + 2{m^2} + m \Rightarrow C\left( { - \sqrt {1 - {m^2}} ; - {m^4} + 2{m^2} + m} \right)\end{array} \right.\).

Do \(A \in Oy,\,\,B,C\) đối xứng nhau qua Oy, do đó tam giác \(ABC\) cân tại A.

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow H\left( {0; - {m^4} + 2{m^2} + m} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}AH = \left| { - {m^4} + 2{m^2} + m - m - 1} \right| = \left| { - {m^4} + 2{m^2} - 1} \right| = {\left( {1 - {m^2}} \right)^2}\\BC = 2\sqrt {1 - {m^2}} \end{array} \right\}\\ \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}{\left( {1 - {m^2}} \right)^2}.2\sqrt {1 - {m^2}} = {\sqrt {1 - {m^2}} ^5}\end{array}\)

Ta có \({m^2} \ge 0 \Leftrightarrow 1 - {m^2} \le 1 \Leftrightarrow {S_{ABC}} \le 1\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow m = 0\).

Vậy \({S_{ABC}}\) lớn nhất bằng \(1\) khi và chỉ khi \(m = 0\).

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.