Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc cuối HK1 lớp 10, 11, 12 tất cả các môn - Trạm số 1 - Ngày 20-21/12/2025 Xem chi tiết
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Toán11

Cho \(n \in \mathbb{N},n \ge 2\). Chứng minh rằng : \(C_n^0C_n^1C_n^2...C_n^n \le {\left( {\dfrac{{{2^n} - 2}}{{n -

Câu hỏi số 305666:
Vận dụng cao

Cho \(n \in \mathbb{N},n \ge 2\). Chứng minh rằng : \(C_n^0C_n^1C_n^2...C_n^n \le {\left( {\dfrac{{{2^n} - 2}}{{n - 1}}} \right)^{n - 1}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:305666
Phương pháp giải

Áp dụng : \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = {2^n}\) và BĐT Cô si

Giải chi tiết

Ta có: \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = {2^n} \Leftrightarrow C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^{n - 1} = {2^n} - 2\)

Áp dụng BĐT Cô si cho \(n - 1\) số dương \(C_n^1,C_n^2,...,C_n^{n - 1}\) ta có:

\(C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^{n - 1} \ge \left( {n - 1} \right)\sqrt[{n - 1}]{{C_n^1C_n^2...C_n^{n - 1}}},\,\forall \,n \in \mathbb{N},n \ge 2\)

\( \Rightarrow {2^n} - 2 \ge \left( {n - 1} \right)\sqrt[{n - 1}]{{C_n^1C_n^2...C_n^{n - 1}}} \Leftrightarrow C_n^1C_n^2...C_n^{n - 1} \le {\left( {\dfrac{{{2^n} - 2}}{{n - 1}}} \right)^{n - 1}} \Leftrightarrow C_n^0C_n^1C_n^2...C_n^{n - 1}C_n^n \le {\left( {\dfrac{{{2^n} - 2}}{{n - 1}}} \right)^{n - 1}}\) (do \(C_n^0 = C_n^n = 1\))

Vậy, \(C_n^0C_n^1C_n^2...C_n^n \le {\left( {\dfrac{{{2^n} - 2}}{{n - 1}}} \right)^{n - 1}},\,\forall n \in \mathbb{N},n \ge 2\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn