Giá trị của \(K = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - 3\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 5n} \right)\)

Câu hỏi số 306066:

Vận dụng

Giá trị của \(K = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - 3\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 5n} \right)\) bằng:

A. \( + \infty \)

B. \( - \infty \)

C. \( - \frac{5}{{12}}\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:306066

Phương pháp giải

Cho \(\lim {u_n} = a,{\rm{ }}\lim {v_n} = b\). Ta có \(\lim ({u_n} + {v_n}) = a + b\)

Xét giới hạn: \(I = \lim f\left( n \right)\,\,\,(n \in {N^*}).\) Nếu \(f\left( n \right)\) chứa n dưới dấu căn thì ta có thể nhân cả tử và mẫu với cùng một biểu thức liên hợp.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}K = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - 3\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 5n} \right)\\\;\;\; = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right) - 3\lim \left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1} - 2n} \right).\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
A = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right)\\
= \lim \frac{{\left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + {n^2} - 1} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} + {n^2}} \right)}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + {n^2} - 1} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} + {n^2}}}\\
= \lim \frac{{{n^2} - 1}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + {n^2} - 1} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} + {n^2}}}\\
= \lim \frac{{1 - \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{{{n^3}}}} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{{{n^3}}}}} + 1}} = \frac{1}{{1 + 1 + 1}} = \frac{1}{3}.
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}B = \lim \left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1} - 2n} \right) = \lim \frac{{\left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1} - 2n} \right)\left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 2n} \right)}}{{\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 2n}}\\ = \lim \frac{{4{n^2} + n + 1 - 4{n^2}}}{{\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 2n}} = \lim \frac{{n + 1}}{{\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 2n}} = \lim \frac{{1 + \frac{1}{n}}}{{\sqrt {4 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 2}} = \frac{1}{{\sqrt 4 + 2}} = \frac{1}{4}.\\ \Rightarrow K = A - 3B = \frac{1}{3} - \frac{3}{4} = - \frac{5}{{12}}.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.