Tính giới hạn của dãy số \({u_n} = q + 2{q^2} + ... + n{q^n}\) với \(\left| q \right| <

Câu hỏi số 306069:

Vận dụng cao

Tính giới hạn của dãy số \({u_n} = q + 2{q^2} + ... + n{q^n}\) với \(\left| q \right| < 1\)

A. \( + \infty \)

B. \( - \infty \)

C. \(\frac{q}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}\)

D. \(\frac{q}{{{{\left( {1 + q} \right)}^2}}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:306069

Phương pháp giải

Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = 0\)

Giải chi tiết

Ta có: \({u_n} - q{u_n} = q + 2{q^2} + ... + n{q^n} - q.\left( {q + 2{q^2} + ... + n{q^n}} \right) = q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n} - n{q^{n + 1}}\)

Do \(q,\;{q^2},\;{q^3},.....,\;{q^n}\) là cấp số nhân có công bội \(q\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {u_n} - q{u_n} = \left( {1 - q} \right){u_n} = q.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} - n{q^{n + 1}}\\ \Rightarrow {u_n} = q\frac{{1 - {q^n}}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}} - n{q^{n + 1}}.\end{array}\)

Do \(\left| q \right| < 1\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{} {q^n} = \mathop {\lim }\limits_{} {q^{n + 1}} = 0\)

Suy ra \(\lim {u_n} = \lim \left[ {\frac{{q\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}} - n{q^{n + 1}}} \right] = \frac{q}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}\).

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.