Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc cuối HK1 lớp 10, 11, 12 tất cả các môn - Trạm số 1 - Ngày 20-21/12/2025 Xem chi tiết
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Toán11

Tính giới hạn của dãy số  \({u_n} = q + 2{q^2} + ... + n{q^n}\) với  \(\left| q \right| <

Câu hỏi số 306069:
Vận dụng cao

Tính giới hạn của dãy số  \({u_n} = q + 2{q^2} + ... + n{q^n}\) với  \(\left| q \right| < 1\)               

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:306069
Phương pháp giải

Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {q^n} = 0\)

Giải chi tiết

Ta có: \({u_n} - q{u_n} = q + 2{q^2} + ... + n{q^n} - q.\left( {q + 2{q^2} + ... + n{q^n}} \right) = q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n} - n{q^{n + 1}}\)

Do \(q,\;{q^2},\;{q^3},.....,\;{q^n}\) là cấp số nhân có công bội \(q\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {u_n} - q{u_n} = \left( {1 - q} \right){u_n} = q.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} - n{q^{n + 1}}\\ \Rightarrow {u_n} = q\frac{{1 - {q^n}}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}} - n{q^{n + 1}}.\end{array}\)

Do \(\left| q \right| < 1\)  nên  \(\mathop {\lim }\limits_{} {q^n} = \mathop {\lim }\limits_{} {q^{n + 1}} = 0\)

Suy ra  \(\lim {u_n} = \lim \left[ {\frac{{q\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}} - n{q^{n + 1}}} \right] = \frac{q}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}\).

Chọn C.          

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn