Cho các số thực a, b thỏa \(\left| a \right| < 1;\;\;\left| b \right| < 1\). Tìm giới hạn \(I = \lim

Câu hỏi số 306068:

Vận dụng

Cho các số thực a, b thỏa \(\left| a \right| < 1;\;\;\left| b \right| < 1\). Tìm giới hạn \(I = \lim \frac{{1 + a + {a^2} + ... + {a^n}}}{{1 + b + {b^2} + ... + {b^n}}}\).

A. \( + \infty \)

B. \( - \infty \)

C. \(\frac{{1 - b}}{{1 - a}}\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:306068

Phương pháp giải

Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {q^n} = 0\)

Giải chi tiết

Ta có \(1,\;a,\;{a^2},\;...,\;{a^n}\) là một cấp số nhân có công bội \(a \Rightarrow 1 + a + {a^2} + ... + {a^n} = \frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}.\)

Tương tự: \(1 + b + {b^2} + ... + {b^n} = \frac{{1 - {b^{n + 1}}}}{{1 - b}}\)

\( \Rightarrow \lim I = \lim \frac{{\frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}}}{{\frac{{1 - {b^{n + 1}}}}{{1 - b}}}} = \lim \left( {\frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}.\frac{{1 - b}}{{1 - {b^{n + 1}}}}} \right) = \lim \left( {\frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - {b^{n + 1}}}}.\frac{{1 - b}}{{1 - a}}} \right) = \frac{{1 - b}}{{1 - a}}.\)

(Vì \(\left| a \right| < 1,\;\;\left| b \right| < 1\)\( \Rightarrow \lim {a^{n + 1}} = \lim {b^{n + 1}} = 0\)).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.