Với \(n\) là số tự nhiên chẵn, chứng minh rằng : \(\left( {{{20}^n} + {{16}^n} - {3^n} - 1} \right)\;

Câu hỏi số 306225:

Vận dụng cao

Với \(n\) là số tự nhiên chẵn, chứng minh rằng : \(\left( {{{20}^n} + {{16}^n} - {3^n} - 1} \right)\; \vdots \;323\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:306225

Phương pháp giải

Áp dụng hằng đẳng thức

\({a^n} - {b^n} = \left( {a - b} \right)\left( {{a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b + {a^{n - 3}}{b^2} + ... + {a^2}{b^{n - 3}} + a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}}} \right)\)

Giải chi tiết

+) Chứng minh hằng đẳng thức:

\(\begin{array}{l}\left( {a - b} \right)\left( {{a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b + {a^{n - 3}}{b^2} + ... + {a^2}{b^{n - 3}} + a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}}} \right)\\ = {a^n} + {a^{n - 1}}b + {a^{n - 2}}{b^2} + ... + {a^3}{b^{n - 3}} + {a^2}{b^{n - 2}} + a{b^{n - 1}} - \left( {{a^{n - 1}}b + {a^{n - 2}}{b^2} + ... + {a^2}{b^{n - 2}} + a{b^{n - 1}} - {b^n}} \right)\\ = {a^n} - {b^n}\end{array}\)

+) Vì \(n\) là số chẵn , đặt \(n = 2k,\;\;k \in \mathbb{N}\) ta có

\({20^n} + {16^n} - {3^n} - 1 = {20^{2k}} + {16^{2k}} - {3^{2k}} - 1 = {400^k} + {256^k} - {9^k} - 1\)

Để chứng minh \(\left( {{{20}^n} + {{16}^n} - {3^n} - 1} \right)\; \vdots \;323\) ta cần chứng minh \(\left( {{{20}^n} + {{16}^n} - {3^n} - 1} \right)\;\) chia hết cho 19 và 17.

Ta có:

\(\begin{array}{l}{400^k} - {1^k} = \left( {400 - 1} \right)\left( {{{400}^{k - 1}} + {{400}^{k - 2}}.1 + {{400}^{k - 3}}{{.1}^2} + ... + {{400}^2}{{.1}^{k - 3}} + {{400.1}^{k - 2}} + {1^{k - 1}}} \right)\\ = 399.\left( {{{400}^{k - 1}} + {{400}^{k - 2}}.1 + {{400}^{k - 3}}{{.1}^2} + ... + {{400}^2}{{.1}^{k - 3}} + {{400.1}^{k - 2}} + {1^{k - 1}}} \right)\\ = 19.21.\left( {{{400}^{k - 1}} + {{400}^{k - 2}}.1 + {{400}^{k - 3}}{{.1}^2} + ... + {{400}^2}{{.1}^{k - 3}} + {{400.1}^{k - 2}} + {1^{k - 1}}} \right)\; \vdots \;19\\{256^k} - {9^k} = \left( {256 - 9} \right)\left( {{{256}^{k - 1}} + {{256}^{k - 2}}.9 + ... + {9^{k - 2}}.256 + {9^{k - 1}}} \right)\\ = 247.\left( {{{256}^{k - 1}} + {{256}^{k - 2}}.9 + ... + {9^{k - 2}}.256 + {9^{k - 1}}} \right)\\ = 13.19.\left( {{{256}^{k - 1}} + {{256}^{k - 2}}.9 + ... + {9^{k - 2}}.256 + {9^{k - 1}}} \right) \vdots 19\\ \Rightarrow \left( {{{400}^k} - {1^k} + {{256}^k} - {9^k}} \right)\; \vdots \;19\end{array}\)

Tương tự ta cũng có :

\(\begin{array}{l}{400^k} - {9^k} = \left( {400 - 9} \right)\left( {{{400}^{k - 1}} + {{400}^{k - 2}}.9 + ... + {9^{k - 2}}.400 + {9^{k - 1}}} \right) = 17.23.\left( {{{400}^{k - 1}} + {{400}^{k - 2}}.9 + ... + {9^{k - 2}}.400 + {9^{k - 1}}} \right)\; \vdots \;17\\{256^k} - 1 = \left( {256 - 1} \right)\left( {{{256}^{k - 1}} + {{256}^{k - 2}}.1 + ... + {{256.1}^{k - 2}} + {1^{k - 1}}} \right) = 17.15.\left( {{{256}^{k - 1}} + {{256}^{k - 2}}.1 + ... + {{256.1}^{k - 2}} + {1^{k - 1}}} \right)\; \vdots \;17\\ \Rightarrow {400^k} - {9^k} + {256^k} - 1 \vdots 17\end{array}\)Như vậy ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{20^n} + {16^n} - {3^n} - 1 = \left( {{{400}^k} + {{256}^k} - {9^k} - 1} \right)\; \vdots \;19\\{20^n} + {16^n} - {3^n} - 1 = \left( {{{400}^k} + {{256}^k} - {9^k} - 1} \right)\; \vdots \;17\end{array} \right. \Rightarrow \left( {{{20}^n} + {{16}^n} - {3^n} - 1} \right)\; \vdots \;\left( {19.17} \right)\\ \Rightarrow \left( {{{20}^n} + {{16}^n} - {3^n} - 1} \right)\; \vdots \;323.\end{array}\)

Như vậy ta có điều cần chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link