Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B,AB = BC = a;{\rm{ }}AD =

Câu hỏi số 307111:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B,AB = BC = a;{\rm{ }}AD = 2a.\) Tam giác \(SAD\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tam giác \(S.ABC.\)

A. \(3\pi {a^2}\)

B. \(5\pi {a^2}\)

C. \(6\pi {a^2}\)

D. \(10\pi {a^2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:307111

Phương pháp giải

Xác định chiều cao hình chóp: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot \left( Q \right)\\\left( P \right) \cap \left( Q \right) = a\\d \bot a;\,d \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( Q \right)\)

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD\) ta chỉ ra mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.EABC\) .

Từ đó ta đưa về bài toán tìm bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy.

Sử dụng công thức tính nhanh \(R = \sqrt {{r^2} + \dfrac{{{h^2}}}{4}} \) với \(R\) là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, \(r\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp, \(h\) là chiều cao hình chóp

Sử dụng công thức tính diện tích mặt cầu \(S = 4\pi {R^2}\)

Giải chi tiết

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD\) suy ra \(AE = \dfrac{{AD}}{2} = a = AB = BC\)

Mà \(BC//AD\) và \(BC \bot AD\) nên \(EABC\) là hình vuông cạnh \(a.\)

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD\end{array} \right.\) mà \(SE \bot AD\) (do tam giác \(SAD\) đều có \(SE\) là trung tuyến)

Suy ra \(SE \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SE \bot \left( {EABC} \right)\)

Nhận thấy \(EABC\) là hình vuông nên đường tròn ngoại tiếp \(EABC\) cũng là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\)

Hay mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.EABC\).

Mà hình chóp \(S.EABC\) có cạnh bên \(SE \bot \left( {EABC} \right)\) và đáy \(EABC\) là hình vuông cạnh \(a.\) Gọi \(I\) là tâm hình vuông \(EABC\)

Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.EABC\) là \(R = \sqrt {I{E^2} + \dfrac{{S{E^2}}}{4}} \)

Ta có \(BE = \sqrt {A{E^2} + A{B^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow IE = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Tam giác \(SAD\) đều cạnh \(2a\) có \(SE\) là trung tuyến nên \(SE = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \)

Suy ra \(R = \sqrt {I{E^2} + \dfrac{{S{E^2}}}{4}} = \sqrt {\dfrac{{2{a^2}}}{4} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

Diện tích mặt cầu là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .\dfrac{{5{a^2}}}{4} = 5\pi {a^2}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.