Cho hàm số \(f\left( x \right) > 0\) với \(x \in \mathbb{R},\,\,f\left( 0 \right) = 1\) và \(f\left( x \right)

Câu hỏi số 307981:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) > 0\) với \(x \in \mathbb{R},\,\,f\left( 0 \right) = 1\) và \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} .f'\left( x \right)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(f\left( 3 \right) < 2\)

B. \(2 < f\left( 3 \right) < 4\)

C. \(4 < f\left( 3 \right) < 6\)

D. \(f\left( 3 \right) > f\left( 6 \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:307981

Phương pháp giải

+) Chia cả 2 vế cho \(f\left( x \right) > 0\) sau đó lấy nguyên hàm 2 vế tìm \(f\left( x \right)\).

+) Từ giả thiết \(f\left( 0 \right) = 1\) xác định hằng số \(C\). Tính \(f\left( 3 \right)\).

Giải chi tiết

Ta có \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} f'\left( x \right)\). Do \(f\left( x \right) > 0\) nên chia cả 2 vế cho \(f\left( x \right)\) ta được \(\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}\).

Lấy nguyên hàm 2 vế \( \Rightarrow \int\limits_{}^{} {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}dx} = \int\limits_{}^{} {\frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}dx} \Leftrightarrow \ln f\left( x \right) = 2\sqrt {x + 1} + C \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{2\sqrt {x + 1} + C}}\)

\(\begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow {e^{2 + C}} = 1 = {e^0} \Leftrightarrow C = - 2 \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{2\sqrt {x + 1} - 2}}\\ \Rightarrow f\left( 3 \right) = {e^{2\sqrt {3 + 1} - 2}} = {e^2} \approx 7,4\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.