Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng \(4a\); hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm H của OA; góc giữa mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và mặt đáy bằng 45^o.

1. Chứng minh \(BD \bot SC\).

2. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).

Câu 311705: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng \(4a\); hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm H của OA; góc giữa mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và mặt đáy bằng 45^o.

1. Chứng minh \(BD \bot SC\).

2. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).

A. \(d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = 3a\sqrt 3 \)

B. \(d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = 3a\sqrt 2 \)

C. \(d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = 2a\sqrt 3 \)

D. \(d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = 2a\sqrt 2 \)

Câu hỏi : 311705

Phương pháp giải:

a) Chứng minh \(BD \bot \left( {SAC} \right)\).

b) +) Xác định góc giữa \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\).

+) Sử dụng phương pháp đổi điểm tính khoảng cách.

Đáp án : D
(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC\).

b) Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(HE//AD//BC\,\,\left( {E \in CD} \right) \Rightarrow HE \bot CD\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SH\\CD \bot HE\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHE} \right) \Rightarrow CD \bot SE\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\\left( {SCD} \right) \supset SE \bot CD\\\left( {ABCD} \right) \supset HE \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SE;HE} \right) = \angle SEH = {45^0}\)

Trong \(\left( {SHE} \right)\) kẻ \(SK \bot SE\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}HK \bot CD\\HK \bot SE\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HK\).

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{HE}}{{AD}} = \dfrac{{HC}}{{AC}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow HE = \dfrac{3}{4}AD = \dfrac{3}{4}.4a = 3a\)

\( \Rightarrow HK = HE.\sin 45 = 3a.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}\).

Ta có \(AB//CD \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\).

\(AH \cap \left( {SCD} \right) = C \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{AC}}{{HC}} = \dfrac{4}{3} \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{4}{3}d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{4}{3}HK\).

Vậy \(d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{4}{3}HK = \dfrac{4}{3}\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2} = 2a\sqrt 2 \).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.