Cho hai số thực \(x,{\rm{ }}y\) thỏa mãn:\(x - 3\sqrt {x + 1} = 3\sqrt {y + 2} - y\) . Tìm giá trị lớn

Câu hỏi số 312398:

Vận dụng cao

Cho hai số thực \(x,{\rm{ }}y\) thỏa mãn:\(x - 3\sqrt {x + 1} = 3\sqrt {y + 2} - y\) .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P{\rm{ }} = {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}y.\)

A. \(\max P = 9 + 3\sqrt 5 \)

B. \(\max P = 9 + 2\sqrt {15} \)

C. \(\max P = 9 + 2\sqrt 5 \)

D. \(\max P = 9 + 3\sqrt {15} \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:312398

Phương pháp giải

Chứng minh bất đẳng thức \(2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge {\left( {a + b} \right)^2}\) từ đó áp dụng tìm giá trị lớn nhất của \(\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 2} \) suy ra giá trị lớn nhất của \(P\)

Giải chi tiết

Cho hai số thực \(x,{\rm{ }}y\) thỏa mãn:\(x - 3\sqrt {x + 1} = 3\sqrt {y + 2} - y\) .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P{\rm{ }} = {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}y.\)

Điều kiện: \(x \ge - 1;\,\,y \ge - 2.\)

Với \(\forall a,b\) ta có: \({a^2} + {b^2} \ge 2ab\) \( \Rightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge {\left( {a + b} \right)^2}\) (1)

Dấu “=” của (1) xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\)

Ta có:

\(x - 3\sqrt {x + 1} = 3\sqrt {y + 2} - y \Leftrightarrow x + y = 3\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 2} } \right)\)

Áp dụng (1) ta được: \({\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 2} } \right)^2} \le 2\left( {x + y + 3} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 9{\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 2} } \right)^2} \le 18\left( {x + y + 3} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 18\left( {x + y} \right) - 54 \le 0 \Rightarrow x + y \le 9 + 3\sqrt {15} \end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 9 + 3\sqrt {15} \\\sqrt {x + 1} = \sqrt {y + 2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5 + \frac{3}{2}\sqrt {15} \\y = 4 + \frac{3}{2}\sqrt {15} \end{array} \right.\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng \(9 + 3\sqrt {15} \) đạt tại \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + \frac{3}{2}\sqrt {15} \\y = 4 + \frac{3}{2}\sqrt {15} \end{array} \right.\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10