Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,\,OB,\,OC\) đôi một vuông góc với nhau.
Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,\,OB,\,OC\) đôi một vuông góc với nhau.
Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:
Đáp án đúng là: A
Chứng minh \(OA \bot \left( {OBC} \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA \bot OB\\OA \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right)\). Mà \(BC \subset \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC\).
Đáp án cần chọn là: A
Đáp án đúng là: C
+) Gọi H là trực tâm tam giác \(ABC\). Chứng minh \(OH \bot \left( {ABC} \right)\). Từ đó xác định các góc \(\alpha ,\,\,\beta ,\,\,\gamma \).
+) Chứng minh \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}\), từ đó chứng minh \({\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta + {\sin ^2}\gamma = 1\).
+) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki: \({\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}\).
Trong \(\left( {OBC} \right)\) kẻ \(OM \bot BC\), trong \(\left( {OAM} \right)\) kẻ \(OH \bot AM\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OM\\BC \bot OA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {OAM} \right) \Rightarrow BC \bot OH\).
Lại có \(OH \bot AM \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle \left( {OA;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {OA;HA} \right) = \angle OAH = \alpha \\\,\,\,\,\,\,\angle \left( {OB;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {OB;HB} \right) = \angle OBH = \beta \\\,\,\,\,\,\angle \left( {OC;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {OC;HC} \right) = \angle OCH = \gamma \end{array}\)
Ta có: \(\sin \alpha = \dfrac{{OH}}{{OA}};\,\,\sin \beta = \dfrac{{OH}}{{OB}};\,\,\sin \gamma = \dfrac{{OH}}{{OC}}\)
\( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta + {\sin ^2}\gamma = O{H^2}\left( {\dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}} \right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OBC ta có \(\dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}} = \dfrac{1}{{O{M^2}}}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM ta có:
\(\dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{M^2}}} = \dfrac{1}{{O{H^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}} = \dfrac{1}{{O{H^2}}}\)
\( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta + {\sin ^2}\gamma = O{H^2}\left( {\dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}} \right) = O{H^2}.\dfrac{1}{{O{H^2}}} = 1\).
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\begin{array}{l}{P^2} = {\left( {P = \cos \alpha + cos\beta + cos\gamma } \right)^2} \le \left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {{{\cos }^2}\alpha + co{s^2}\beta + co{s^2}\gamma } \right)\\ \Rightarrow {P^2} \le 3\left[ {3 - \left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\sin }^2}\beta + {{\sin }^2}\gamma } \right)} \right] = 3\left[ {3 - 1} \right] = 6\\ \Leftrightarrow - \sqrt 6 \le P \le \sqrt 6 \end{array}\)
Vậy \({P_{\max }} = \sqrt 6 \). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \cos \alpha = \cos \beta = \cos \gamma = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\).
Đáp án cần chọn là: C
Quảng cáo
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
