Cho hàm số \(f\left( x \right) = x + \sqrt {{x^2} + 1} \). Tập các giá trị của \(x\) để \(2x.f'\left( x

Câu hỏi số 312988:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = x + \sqrt {{x^2} + 1} \). Tập các giá trị của \(x\) để \(2x.f'\left( x \right) - f\left( x \right) \ge 0\) là:

A. \(\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}; + \infty } \right).\)

B. \(\left( { - \infty ;\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)\).

C. \(\left[ {\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}; + \infty } \right).\)

D. \(\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}; + \infty } \right).\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:312988

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n.{x^{n - 1}}\) và \(\left( {\sqrt u } \right)' = \dfrac{{u'}}{{2\sqrt u }}\) tính \(f'\left( x \right)\). Từ đó giải bất phương trình.

Giải chi tiết

Ta có \(f'\left( x \right) = 1 + \dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = 1 + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).

Theo bài ra ta có \(2x.f'\left( x \right) - f\left( x \right) \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x\left( {1 + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right) - x - \sqrt {{x^2} + 1} \ge 0\\ \Leftrightarrow 2x + \dfrac{{2{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} - x - \sqrt {{x^2} + 1} \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2x\sqrt {{x^2} + 1} + 2{x^2} - x\sqrt {{x^2} + 1} - {x^2} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \ge 0\\ \Leftrightarrow g\left( x \right) = {x^2} - 1 + x\sqrt {{x^2} + 1} \ge 0\end{array}\)

Thử các đáp án:

Với \(x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow g\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\) thuộc tập nghiệm của BPT \( \Rightarrow \) Loại đáp án A, B và C.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.