Cho M cố dịnh nằm bên ngoài đường tròn (O, R), qua M vẽ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn
Cho M cố dịnh nằm bên ngoài đường tròn (O, R), qua M vẽ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (với A, B là các tiếp điểm). Gọi C là điểm bất kì trên cung nhỏ AB của đường tròn (O). Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB, MA, MB.
1) Chứng minh bốn điểm A, D, C, E cùng thuộc một đường tròn.
2) AC cắt DE tại P, BC cắt DF tại Q, chứng minh \(\Delta PAE\) đồng dạng với \(\Delta PDC\)suy ra \(PA.PC = {\rm{ }}PD.PE.\)
3) Chứng minh AB//PQ.
4) Khi điểm C di động trên cung nhỏ AB của đường tròn (O) thì trong tâm G của tam giác ABC di chuyển trân đường nào.
Quảng cáo
1) Chứng minh\(\angle CEA + \angle CDA = {180^0}\) suy ra tứ giác ADCE là tứ giác nội tiếp và A, D, C, E cùng thuộc một đường tròn.
2) Ta chứng minh \(\angle EAP = \angle PDC;\angle AEP = \angle PCD\) suy ra các tam giác PAE và PDC đồng dạng (g-g).\(\)
3) Chứng minh \(\angle BCN = \angle ACD,\angle CAD = \angle CBN\)
4) Chứng minh hai góc đồng vị bằng nhau \(\angle CPQ = \angle CAD \Rightarrow PQ//AB.\)
1) Chứng minh bốn điểm A, D, C, E cùng thuộc một đường tròn.
Ta có: \(\angle CEA = {90^0}\,\,\left( {CE \bot AE} \right)\)
\(\begin{array}{l}\angle CDA = {90^0}\,\,\left( {CD \bot AB} \right)\\ \Rightarrow \angle CEA + \angle CDA = {180^0}\end{array}\)
\( \Rightarrow \)Tứ giác ADCE nội tiếp (dhnb)
Hay A, D, C, E cùng thuộc một đường tròn. (đpcm)
2) AC cắt DE tại B, BC cắt DF tại Q, chứng minh \(\Delta PAE\) đồng dạng với \(\Delta PDC\)suy ra \(PA.PC = PD.PE.\)
Ta có tứ giác ADCE nội tiếp (cmt)
\( \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\angle EAP = \angle PDC\\\angle AEP = \angle PCD\end{array} \right.\,\,\,\)(các góc nội tiếp cùng chắn 1 cung).
\( \Rightarrow \Delta PAE \sim \Delta PDC\,\,\left( {g - g} \right)\,\,\left( {dpcm} \right).\)
\( \Rightarrow \frac{{PA}}{{PD}} = \frac{{PE}}{{PC}} \Leftrightarrow PA.PC = PD.PE\,\,\,\left( {dpcm} \right)\)
3) Chứng minh AB//PQ
Xét tứ giác \(CDBF\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle CFB = {90^0}\,\,\,\left( {CF \bot MB} \right)\\\angle CDB = {90^0}\,\,\left( {CD \bot AB} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \angle DFB + \angle CDB = {180^0}\)
\( \Rightarrow CDBF\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).
\( \Rightarrow \angle FCB = \angle FDB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(FB\)).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle APD = \frac{1}{2}\left( {sd\,\,cung\,\,AD + sd\,\,cung\,\,EC} \right) = \frac{1}{4}\left( {\angle ACD + \angle EAC} \right)\\\angle CQD = \frac{1}{2}\left( {sd\,\,cung\,\,CD + sd\,\,cung\,\,BF} \right) = \frac{1}{4}\left( {\angle DBC + \angle BCF} \right)\end{array} \right.\) (tính chất góc có đỉnh nằm trong đường tròn)
Mà \(\angle CQD = \angle BCF\) (cùng phụ với \(\angle DAC\)), \(\angle EAC = \angle DBC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\)).
\( \Rightarrow \angle APD = \angle CQD\,\left( { = \frac{1}{4}\left( {\angle ACD + \angle EAC} \right)} \right)\)
\( \Rightarrow DPCQ\) là tứ giác nội tiếp (góc trong tại 1 đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện).
\( \Rightarrow \angle CPQ = \angle CDQ\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CQ).
Lại có: \(\angle CDQ = \angle CBF = \angle CAB \Rightarrow \angle CPQ = \angle CAB\)
Mặt khác hai góc này ở vị trí đồng vị.
\( \Rightarrow AB//PQ\left( {dpcm} \right).\)
4) Khi điểm C di động trên cung nhỏ AB của đường tròn (O) thì trong tâm G của tam giác ABC di chuyển trân đường nào.
Gọi G là trọng tâm
\( \Rightarrow \frac{{CG}}{{CN}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{NG}}{{NC}} = \frac{1}{3}\) (tính chất trọng tâm tam giác)
Từ G, dựng \(GI//OC\,\,\left( {I \in OM} \right)\) ta có :
\(\frac{{GI}}{{OC}} = \frac{{NG}}{{NC}} = \frac{{NI}}{{NO}} = \frac{1}{3}\) (định lý Ta-let)
\(IG = \frac{1}{3}OC = \frac{1}{3}R\) (không đổi).
Mà \(\frac{{NI}}{{NG}} = \frac{1}{3},\,\,do\,\,M,\,\,O,\,A,\,B\) là các điểm cố định nên N là điểm cố định
\( \Rightarrow I\) cũng là điểm cố định.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
