Cho các số thực a, b, c thỏa mãn \(a + b + c = 7,{\rm{ }}ab + bc + ca = 15.\) Chứng minh rằng \(a \le

Câu hỏi số 312995:

Vận dụng cao

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn \(a + b + c = 7,{\rm{ }}ab + bc + ca = 15.\) Chứng minh rằng \(a \le \frac{{11}}{3}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:312995

Phương pháp giải

+) Giải hệ phương trình đã cho bằng phương pháp thế.

+) Áp dụng bất đẳng thức với hai số thực bất kì \(x,\,y:\,\,{\left( {x + y} \right)^2} - 4xy = {\left( {x - y} \right)^2}.\)

+) Giải bất phương trình tích.

Giải chi tiết

Theo đề bài ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 7\\ab + bc + ca = 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c = 7 - a\\a\left( {b + c} \right) + bc = 15\,\,\,\left( I \right)\end{array} \right.\,\,\)

Với mọi số thực \(b,\,\,c\) ta luôn có : \({\left( {b + c} \right)^2} - 4bc = {\left( {b - c} \right)^2} \ge 0\)

\( \Rightarrow {\left( {b + c} \right)^2} \ge 4bc\,\,\,\,\left( {II} \right)\)

Thế (II) vào (I) ta được :

\(\begin{array}{l}60 = 4a\left( {b + c} \right) + 4bc \le 4a\left( {7 - a} \right) + {\left( {7 - a} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 28a - 4{a^2} + 49 - 14a + {a^2} \ge 60\\ \Leftrightarrow 3{a^2} - 14a + 11 \le 0\\ \Leftrightarrow 1 \le a \le \frac{{11}}{3}.\end{array}\)

Vậy \(a \le \frac{{11}}{3}.\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link