Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 8} \frac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt[3]{{x + 19}}}}{{\sqrt[4]{{x + 8}} - 2}} =

Câu hỏi số 314565:

Vận dụng

Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 8} \frac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt[3]{{x + 19}}}}{{\sqrt[4]{{x + 8}} - 2}} = \frac{a}{b}\) trong đó \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản, \(a\) và \(b\) là các số nguyên dương. Tổng \(a + b\) bằng

A. \(137\)

B. \(138\)

C. \(139\)

D. \(140\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:314565

Phương pháp giải

Đặt \(t = x - 8 \Rightarrow x = t + 8 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 8} \;t = \mathop {\lim }\limits_{x \to 8} \;\left( {x - 8} \right) = 0.\) Khi đó ta có:

\(\frac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt[3]{{x + 19}}}}{{\sqrt[4]{{x + 8}} - 2}} = \frac{{\sqrt {t + 9} - \sqrt[3]{{t + 27}}}}{{\sqrt[4]{{t + 16}} - 2}} = \frac{{3\sqrt {1 + \frac{t}{9}} - 3\sqrt[3]{{1 + \frac{t}{{27}}}}}}{{2\sqrt[4]{{1 + \frac{t}{{16}}}} - 2}} = \frac{3}{2}\,.\,\frac{{\frac{{\sqrt {1 + \frac{t}{9}} - 1}}{t} - \frac{{\sqrt[3]{{1 + \frac{t}{{27}}}} - 1}}{t}}}{{\frac{{\sqrt[4]{{1 + \frac{t}{{16}}}} - 1}}{t}}} = f\left( t \right)\)

Áp dụng công thức: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[n]{{1 + ax}} - 1}}{x} = \frac{a}{n}\;\left( {a \ne 0;\;\;n \in {\mathbb{N}^*}} \right).\)

Giải chi tiết

Đặt \(t = x - 8 \Rightarrow x = t + 8 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 8} \;t = \mathop {\lim }\limits_{x \to 8} \;\left( {x - 8} \right) = 0.\) Khi đó ta có:

\(f\left( t \right) = \frac{{\sqrt {t + 9} - \sqrt[3]{{t + 27}}}}{{\sqrt[4]{{t + 16}} - 2}} = \frac{{3\sqrt {1 + \frac{t}{9}} - 3\sqrt[3]{{1 + \frac{t}{{27}}}}}}{{2\sqrt[4]{{1 + \frac{t}{{16}}}} - 2}} = \frac{3}{2}\,.\,\frac{{\frac{{\sqrt {1 + \frac{t}{9}} - 1}}{t} - \frac{{\sqrt[3]{{1 + \frac{t}{{27}}}} - 1}}{t}}}{{\frac{{\sqrt[4]{{1 + \frac{t}{{16}}}} - 1}}{t}}}.\)

Do đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 8} \frac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt[3]{{x + 19}}}}{{\sqrt[4]{{x + 8}} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} f\left( t \right) = \frac{3}{2}\,\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\frac{{\sqrt {1 + \frac{t}{9}} - 1}}{t} - \frac{{\sqrt[3]{{1 + \frac{t}{{27}}}} - 1}}{t}}}{{\frac{{\sqrt[4]{{1 + \frac{t}{{16}}}} - 1}}{t}}}\) .

Ta có:

Xét: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[n]{{1 + ax}} - 1}}{x} = \frac{a}{n}\;\left( {a \ne 0;\;\;n \in {\mathbb{N}^*}} \right).\)

Đặt \(\sqrt[n]{{1 + ax}} = y \Leftrightarrow {y^n} = 1 + ax \Rightarrow x = \frac{{{y^n} - 1}}{a};\,\;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} y = 1\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[n]{{1 + ax}} - 1}}{x} = a\mathop {\lim }\limits_{y \to 1} \frac{{y - 1}}{{{y^n} - 1}} = a\mathop {\lim }\limits_{y \to 1} \frac{{y - 1}}{{\left( {y - 1} \right)\left( {{y^{n - 1}} + ... + y + 1} \right)}} = a\mathop {\lim }\limits_{y \to 1} \frac{1}{{{y^{n - 1}} + ... + y + 1}} = \frac{a}{n}\\\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sqrt {1 + \frac{t}{9}} - 1}}{t} = \frac{{\frac{1}{9}}}{2} = \frac{1}{{18}};\;\;\;\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{1 + \frac{t}{{27}}}} - 1}}{t} = \,\frac{{\frac{1}{{27}}}}{3} = \frac{1}{{81}};\;\;\;\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sqrt[4]{{1 + \frac{t}{{16}}}} - 1}}{t} = \frac{{\frac{1}{{16}}}}{4} = \frac{1}{{64}}.\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} f\left( t \right) = \frac{3}{2}.\frac{{\frac{1}{{18}} - \frac{1}{{81}}}}{{\frac{1}{{64}}}} = \frac{{112}}{{27}}.\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 8} \frac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt[3]{{x + 19}}}}{{\sqrt[4]{{x + 8}} - 2}} = \frac{{112}}{{27}}.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 112\\b = 27\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 139.\end{array}\)

Chú ý khi giải

Các em có thể sử dụng cách nhân liên hợp tuy nhiên cách này sẽ hơi dài so với bài toán này.

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( t \right) = \frac{{\sqrt {t + 9} - \sqrt[3]{{t + 27}}}}{{\sqrt[4]{{t + 16}} - 2}} = \frac{{\sqrt {t + 9} - 3}}{{\sqrt[4]{{t + 16}} - 2}} - \frac{{\sqrt[3]{{t + 27}} - 3}}{{\sqrt[4]{{t + 16}} - 2}}\\ = \frac{{\left( {\sqrt {t + 9} - 3} \right)\left( {\sqrt {t + 9} + 3} \right)\left( {\sqrt[4]{{t + 16}} + 2} \right)\left( {\sqrt[4]{{{{\left( {t + 16} \right)}^2}}} + {2^2}} \right)}}{{\left( {\sqrt[4]{{t + 16}} - 2} \right)\left( {\sqrt[4]{{t + 16}} + 2} \right)\left( {\sqrt[4]{{{{\left( {t + 16} \right)}^2}}} + {2^2}} \right)\left( {\sqrt {t + 9} + 3} \right)}}\\ - \frac{{\left( {\sqrt[3]{{t + 27}} - 3} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {t + 27} \right)}^2}}} + 3\sqrt[3]{{t + 27}} + 9} \right)\left( {\sqrt[4]{{t + 16}} + 2} \right)\left( {\sqrt[4]{{{{\left( {t + 16} \right)}^2}}} + {2^2}} \right)}}{{\left( {\sqrt[4]{{t + 16}} - 2} \right)\left( {\sqrt[4]{{t + 16}} + 2} \right)\left( {\sqrt[4]{{{{\left( {t + 16} \right)}^2}}} + {2^2}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {t + 27} \right)}^2}}} + 3\sqrt[3]{{t + 27}} + 9} \right)}}\\ = \frac{{t\left( {\sqrt[4]{{t + 16}} + 2} \right)\left( {\sqrt[4]{{{{\left( {t + 16} \right)}^2}}} + {2^2}} \right)}}{{t\left( {\sqrt {t + 9} + 3} \right)}} - \frac{{t\left( {\sqrt[4]{{t + 16}} + 2} \right)\left( {\sqrt[4]{{{{\left( {t + 16} \right)}^2}}} + {2^2}} \right)}}{{t\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {t + 27} \right)}^2}}} + 3\sqrt[3]{{t + 27}} + 9} \right)}}\\ = \frac{{\left( {\sqrt[4]{{t + 16}} + 2} \right)\left( {\sqrt[4]{{{{\left( {t + 16} \right)}^2}}} + {2^2}} \right)}}{{\sqrt {t + 9} + 3}} - \frac{{\left( {\sqrt[4]{{t + 16}} + 2} \right)\left( {\sqrt[4]{{{{\left( {t + 16} \right)}^2}}} + {2^2}} \right)}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {t + 27} \right)}^2}}} + 3\sqrt[3]{{t + 27}} + 9}}.\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 8} \frac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt[3]{{x + 19}}}}{{\sqrt[4]{{x + 8}} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} f\left( t \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left[ {\frac{{\left( {\sqrt[4]{{t + 16}} + 2} \right)\left( {\sqrt[4]{{{{\left( {t + 16} \right)}^2}}} + {2^2}} \right)}}{{\sqrt {t + 9} + 3}} - \frac{{\left( {\sqrt[4]{{t + 16}} + 2} \right)\left( {\sqrt[4]{{{{\left( {t + 16} \right)}^2}}} + {2^2}} \right)}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {t + 27} \right)}^2}}} + 3\sqrt[3]{{t + 27}} + 9}}} \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left[ {\frac{{\left( {\sqrt[4]{{16}} + 2} \right)\left( {\sqrt[4]{{{{16}^2}}} + {2^2}} \right)}}{{\sqrt 9 + 3}} - \frac{{\left( {\sqrt[4]{{16}} + 2} \right)\left( {\sqrt[4]{{{{16}^2}}} + {2^2}} \right)}}{{\sqrt[3]{{{{27}^2}}} + 3\sqrt[3]{{27}} + 9}}} \right]\\ = \frac{{\left( {2 + 2} \right)\left( {4 + 4} \right)}}{{3 + 3}} - \frac{{\left( {2 + 2} \right)\left( {4 + 4} \right)}}{{9 + 3.3 + 9}} = \frac{{32}}{6} - \frac{{32}}{{27}} = \frac{{112}}{{27}}.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.