Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) và \(\sin \frac{\alpha }{2} =

Câu hỏi số 315052:

Vận dụng

Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) và \(\sin \frac{\alpha }{2} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \tan \left( {\frac{\alpha }{2} - \frac{\pi }{4}} \right)\)

A. \(1\)

B. \(\frac{1}{2}\)

C. \(\frac{1}{3}\)

D. \(\frac{1}{4}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:315052

Phương pháp giải

Từ điều kiện đề bài và công thức \({\sin ^2}\frac{\alpha }{2} + {\cos ^2}\frac{\alpha }{2} = 1\) để tính \(\cos \frac{\alpha }{2}\), từ đó tính \(\tan \frac{\alpha }{2} = \frac{{\sin \frac{\alpha }{2}}}{{\cos \frac{\alpha }{2}}}\)

Áp dụng công thức \(\tan \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha \pm \tan \beta }}{{1 \mp \tan \alpha \tan \beta }}\) để tính \(A.\)

Giải chi tiết

Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) và \(\sin \frac{\alpha }{2} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \tan \left( {\frac{\alpha }{2} - \frac{\pi }{4}} \right)\)

Vì \(\alpha \) thỏa mãn \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \Rightarrow \frac{\pi }{4} < \frac{\alpha }{2} < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \cos \frac{\alpha }{2} > 0.\)

Do \(\sin \frac{\alpha }{2} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow \cos \frac{\alpha }{2} = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\frac{\alpha }{2}} = \sqrt {1 - \frac{4}{5}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow \tan \frac{\alpha }{2} = \frac{{\sin \frac{\alpha }{2}}}{{\cos \frac{\alpha }{2}}} = \frac{{\frac{2}{{\sqrt 5 }}}}{{\frac{1}{{\sqrt 5 }}}} = 2.\)

\( \Rightarrow A = \tan \left( {\frac{\alpha }{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan \frac{\alpha }{2} - \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan \frac{\alpha }{2}.\tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{2 - 1}}{{1 + 2.1}} = \frac{1}{3}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10