Tìm cặp số nguyên \(\left( {x;\;y} \right)\) thỏa mãn phương trình: \({x^3} + 3x = {x^2}y + 2y +

Câu hỏi số 315352:

Vận dụng cao

Tìm cặp số nguyên \(\left( {x;\;y} \right)\) thỏa mãn phương trình: \({x^3} + 3x = {x^2}y + 2y + 5.\)

A. \(\left( {x;\;y} \right) \in \left\{ {\left( {1;\,3} \right);\;\left( {5;\;5} \right)} \right\}\)

B. \(\left( {x;\;y} \right) \in \left\{ {\left( { - 1; - 3} \right);\;\left( { - 5; - 5} \right)} \right\}\)

C. \(\left( {x;\;y} \right) \in \left\{ {\left( { - 1; - 3} \right);\;\left( {5;\;5} \right)} \right\}\)

D. \(\left( {x;\;y} \right) \in \left\{ {\left( {1;\,3} \right);\;\left( { - 5; - 5} \right)} \right\}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:315352

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức đã cho thành biểu thức tính \(y\) theo \(x.\)

Vận dụng kiến thức về phép chia hết, biện luận, tính toán ra cặp \((x;y)\) thỏa mãn.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;{x^3} + 3x = {x^2}y + 2y + 5\\ \Leftrightarrow {x^3} + 3x - 5 = {x^2}y + 2y\\ \Leftrightarrow {x^3} + 3x - 5 = y\left( {{x^2} + 2} \right)\\ \Leftrightarrow y = \frac{{{x^3} + 3x - 5}}{{{x^2} + 2}}\;\;\;\;\;\left( {do\;\;{x^2} + 2 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow y = \frac{{{x^3} + 2x + x - 5}}{{{x^2} + 2}}\\ \Leftrightarrow y = x + \frac{{x - 5}}{{{x^2} + 2}}\;\;\;\;\left( * \right)\;.\end{array}\)

Để \(y \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {x + \frac{{x - 5}}{{{x^2} + 2}}} \right) \in \mathbb{Z}\)

Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow y \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{{x - 5}}{{{x^2} + 2}} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\; \vdots \;\left( {{x^2} + 2} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ {\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)} \right]\; \vdots \;\left( {{x^2} + 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 25} \right)\; \vdots \;\left( {{x^2} + 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2 - 27} \right)\; \vdots \;\left( {{x^2} + 2} \right)\\ \Leftrightarrow 27\; \vdots \;\left( {{x^2} + 2} \right)\end{array}\).

Hay \(\left( {{x^2} + 2} \right) \in U\left( {27} \right)\)

Mà \({x^2} + 2 \ge 2\;\;\forall x \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {{x^2} + 2} \right) \in \left\{ {3;\;9;\;27} \right\}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2 = 3\\{x^2} + 2 = 9\\{x^2} + 2 = 27\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\;\;\left( {tm} \right)\\{x^2} = 7\;\;\left( {ktm} \right)\\{x^2} = 25\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\{x^2} = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\;\\x = - 1\;\\x = 5\\x = - 5\end{array} \right.\)

+) Với \(x = 1 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow y = 1 + \frac{{1 - 5}}{{1 + 2}} = - \frac{1}{3}\;\;\left( {ktm} \right)\)

+) Với \(x = - 1 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow y = - 1 + \frac{{ - 1 - 5}}{{{{\left( { - 1} \right)}^2} + 2}} = - 3\;\;\left( {tm} \right)\)

+) Với \(x = 5 \Rightarrow y = x + \frac{{x - 5}}{{{x^2} + 2}} = 5 + \frac{0}{{27}} = 5\;\;\left( {tm} \right)\)

+) Với \(x = - 5 \Rightarrow y = x + \frac{{x - 5}}{{{x^2} + 2}} = - 5 + \frac{{ - 5 - 5}}{{27}} = - \frac{{145}}{{27}}\;\;\left( {ktm} \right)\)

Vậy cặp số nguyên \(\left( {x;\;y} \right) \in \left\{ {\left( { - 1; - 3} \right);\;\left( {5;\;5} \right)} \right\}\) thỏa mãn phương trình.

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link