Chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình cầu có bán kính \(R\)
Chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình cầu có bán kính \(R\) là
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Thể tích khối trụ: \(V = \pi {r^2}h\)
Công thức liên hệ: \({R^2} = {r^2} + {d^2}\), d là khoảng cách từ tâm O đến mặt đáy của hình trụ, r là bán kính đáy, R là bán kính mặt cầu.
Gọi d là khoảng cách từ tâm O đến mặt đáy của hình trụ, r là bán kính đáy.
Thể tích khối trụ: \({V_{tru}} = \pi {r^2}h\)
Mà \({R^2} = {r^2} + {d^2} \Rightarrow {R^2} = {r^2} + {\left( {\dfrac{h}{2}} \right)^2} \Rightarrow {r^2} = {R^2} - \dfrac{{{h^2}}}{4}\)
\( \Rightarrow {V_{tru}} = \pi {r^2}h = \pi \left( {{R^2} - \dfrac{{{h^2}}}{4}} \right)h = \dfrac{\pi }{4}\left( {4{R^2}h - {h^3}} \right)\)
Xét hàm số \(f\left( h \right) = 4{R^2}h - {h^3},\,\,\left( {0 < 0 < R} \right)\) có \(f'\left( h \right) = 4{R^2} - 3{h^2},\,\,f'\left( h \right) = 0 \Leftrightarrow h = \dfrac{{2R}}{{\sqrt 3 }}\)
Ta có: \(f\left( 0 \right) = 0,\,\,f\left( R \right) = 3{R^3},\,\,f\left( {\dfrac{{2R}}{{\sqrt 3 }}} \right) = {\dfrac{{16\sqrt 3 R}}{9}^3} \Rightarrow f{\left( h \right)_{\max }} = f\left( {\dfrac{{2R}}{{\sqrt 3 }}} \right)\)
Vậy, thể tích khối trụ lớn nhất khi \(h = \dfrac{{2R}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2R\sqrt 3 }}{3}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
