Chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình cầu có bán kính \(R\)
Chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình cầu có bán kính \(R\) là
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Thể tích khối trụ: \(V = \pi {r^2}h\)
Công thức liên hệ: \({R^2} = {r^2} + {d^2}\), d là khoảng cách từ tâm O đến mặt đáy của hình trụ, r là bán kính đáy, R là bán kính mặt cầu.
Gọi d là khoảng cách từ tâm O đến mặt đáy của hình trụ, r là bán kính đáy.
Thể tích khối trụ: \({V_{tru}} = \pi {r^2}h\)
Mà \({R^2} = {r^2} + {d^2} \Rightarrow {R^2} = {r^2} + {\left( {\dfrac{h}{2}} \right)^2} \Rightarrow {r^2} = {R^2} - \dfrac{{{h^2}}}{4}\)
\( \Rightarrow {V_{tru}} = \pi {r^2}h = \pi \left( {{R^2} - \dfrac{{{h^2}}}{4}} \right)h = \dfrac{\pi }{4}\left( {4{R^2}h - {h^3}} \right)\)
Xét hàm số \(f\left( h \right) = 4{R^2}h - {h^3},\,\,\left( {0 < 0 < R} \right)\) có \(f'\left( h \right) = 4{R^2} - 3{h^2},\,\,f'\left( h \right) = 0 \Leftrightarrow h = \dfrac{{2R}}{{\sqrt 3 }}\)
Ta có: \(f\left( 0 \right) = 0,\,\,f\left( R \right) = 3{R^3},\,\,f\left( {\dfrac{{2R}}{{\sqrt 3 }}} \right) = {\dfrac{{16\sqrt 3 R}}{9}^3} \Rightarrow f{\left( h \right)_{\max }} = f\left( {\dfrac{{2R}}{{\sqrt 3 }}} \right)\)
Vậy, thể tích khối trụ lớn nhất khi \(h = \dfrac{{2R}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2R\sqrt 3 }}{3}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
