Gọi \(n\) là số nguyên dương sao cho \(\dfrac{1}{{{{\log }_3}x}} + \dfrac{1}{{{{\log }_{{3^2}}}x}} + \dfrac{1}{{{{\log }_{{3^3}}}x}} + ... + \dfrac{1}{{{{\log }_{{3^n}}}x}} \) \(= \dfrac{{190}}{{{{\log }_3}x}}\) đúng với mọi \(x\) dương, \(x \ne 1\). Tìm giá trị của biểu thức \(P = 2n + 3\).

Câu 317342: Gọi \(n\) là số nguyên dương sao cho \(\dfrac{1}{{{{\log }_3}x}} + \dfrac{1}{{{{\log }_{{3^2}}}x}} + \dfrac{1}{{{{\log }_{{3^3}}}x}} + ... + \dfrac{1}{{{{\log }_{{3^n}}}x}} \) \(= \dfrac{{190}}{{{{\log }_3}x}}\) đúng với mọi \(x\) dương, \(x \ne 1\). Tìm giá trị của biểu thức \(P = 2n + 3\).

A. \(P = 23\).

B. \(P = 41\).

C. \(P = 43\).

D. \(P = 32\).

Câu hỏi : 317342

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Tìm \(n\) từ điều kiện đề bài cho, rồi thay giá trị của n tìm được vào biểu thức \(P = 2n + 3\).

Sử dụng các công thức \({\log _{{a^m}}}{b^n} = \dfrac{n}{m}{\log _a}b,\,\,\dfrac{1}{{{{\log }_a}b}} = {\log _b}a\) (giả sử các biểu thức là có nghĩa).

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Với \(\forall \,x > 0,\,x \ne 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{{{\log }_3}x}} + \dfrac{1}{{{{\log }_{{3^2}}}x}} + \dfrac{1}{{{{\log }_{{3^3}}}x}} + ... + \dfrac{1}{{{{\log }_{{3^n}}}x}} = \dfrac{{190}}{{{{\log }_3}x}}\\ \Leftrightarrow {\log _x}3 + {\log _x}{3^2} + ... + {\log _x}{3^n} = 190.{\log _x}3\\ \Leftrightarrow {\log _x}\left( {{{3.3}^2}{{.3}^3}{{...3}^n}} \right) = 190.{\log _x}3\\ \Leftrightarrow {\log _x}{3^{1 + 2 + 3 + ... + n}} = 190.{\log _x}3\\ \Leftrightarrow {\log _x}{3^{\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}}} = 190.{\log _x}3 \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}{\log _x}3 = 190.{\log _x}3\\ \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = 190 \Leftrightarrow n\left( {n + 1} \right) = 380 \Leftrightarrow n = 19\\ \Rightarrow P = 2n + 3 = 2.19 + 3 = 41\end{array}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.