Xét các số thực dương \(x\),\(y\) thỏa mãn \({\log _{\frac{1}{2}}}x + {\log _{\frac{1}{2}}}y \le {\log

Câu hỏi số 317428:

Vận dụng cao

Xét các số thực dương \(x\),\(y\) thỏa mãn \({\log _{\frac{1}{2}}}x + {\log _{\frac{1}{2}}}y \le {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + {y^2}} \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = x + 3y\).

A. \({P_{\min }} = \frac{{17}}{2}\).

B. \({P_{\min }} = 8\).

C. \({P_{\min }} = 9\).

D. \({P_{\min }} = \frac{{25\sqrt 2 }}{4}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:317428

Phương pháp giải

+) Sử dụng công thức \({\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left( {xy} \right)\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,\,x,y > 0} \right)\), giải bất phương trình logarit cơ bản \({\log _a}f\left( x \right) \le {\log _a}g\left( x \right)\,\,\left( {0 < a < 1} \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge g\left( x \right)\).

+) Rút \(x\) theo \(y\), thế vào \(P\).

+) Đưa \(P\) về dạng \(P = f\left( y \right)\). Lập BBT và tìm GTNN của \(P = f\left( y \right)\).

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có:

\({\log _{\frac{1}{2}}}x + {\log _{\frac{1}{2}}}y \le {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + {y^2}} \right) \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {xy} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + {y^2}} \right) \Leftrightarrow xy \ge x + {y^2}\)

\( \Leftrightarrow x\left( {y - 1} \right) \ge {y^2} > 0\). Mà \(x > 0 \Rightarrow y - 1 > 0 \Leftrightarrow y > 1\).

\( \Rightarrow x \ge \frac{{{y^2}}}{{y - 1}}\). Khi đó ta có \(P = x + 3y \ge \frac{{{y^2}}}{{y - 1}} + 3y\) với \(y > 1\).

Xét hàm số \(f\left( y \right) = \frac{{{y^2}}}{{y - 1}} + 3y\) với \(y > 1\) ta có :

\(f'\left( y \right) = \frac{{2y\left( {y - 1} \right) - {y^2}}}{{{{\left( {y - 1} \right)}^2}}} + 3 = \frac{{{y^2} - 2y + 3{y^2} - 6y + 3}}{{{{\left( {y - 1} \right)}^2}}} = \frac{{4{y^2} - 8y + 3}}{{{{\left( {y - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \frac{3}{2}\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

BBT:

Từ BBT ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{y > 1} f\left( y \right) = f\left( {\frac{3}{2}} \right) = 9\).

Vậy \(P \ge 9\) hay \({P_{\min }} = 9\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.